Номер 25, страница 16 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 25, страница 16.

Условие.

Самостоятельная работа № 25

Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

1. Решите уравнение:

1) $|x + 4| = 3;$

2) $|3x + 2| = |2x - 1|;$

3) $|x + 4| = 2x - 10.$

2. Решите неравенство:

1) $|3x - 7| < 2;$

2) $|4x + 3| > 2x - 1.$

3. Постройте график функции $y = |x - 4| + |x + 2|.$

4. Решите уравнение $\frac{|x - 3|}{|x - 2| - 1} = 1.$

5. Определите количество корней уравнения $|2x - 3| = x + a$ в зависимости от значения параметра $a.$

Решение.

1) Уравнение $|x + 4| = 3$ равносильно совокупности двух уравнений: $x + 4 = 3$ или $x + 4 = -3$.
Из первого уравнения получаем $x = 3 - 4 = -1$.
Из второго уравнения получаем $x = -3 - 4 = -7$.
Ответ: $-7; -1$.

2) Уравнение вида $|f(x)| = |g(x)|$ равносильно совокупности двух уравнений: $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$.
Для уравнения $|3x + 2| = |2x - 1|$ имеем:
1) $3x + 2 = 2x - 1 \implies 3x - 2x = -1 - 2 \implies x = -3$.
2) $3x + 2 = -(2x - 1) \implies 3x + 2 = -2x + 1 \implies 5x = -1 \implies x = -1/5$.
Ответ: $-3; -1/5$.

3) Уравнение $|x + 4| = 2x - 10$.
Так как модуль числа — величина неотрицательная, должно выполняться условие $2x - 10 \ge 0$, откуда $2x \ge 10$, то есть $x \ge 5$.
При этом условии уравнение равносильно совокупности двух систем:
1) $x + 4 = 2x - 10 \implies x = 14$. Корень $x=14$ удовлетворяет условию $x \ge 5$.
2) $x + 4 = -(2x - 10) \implies x + 4 = -2x + 10 \implies 3x = 6 \implies x = 2$. Корень $x=2$ не удовлетворяет условию $x \ge 5$, следовательно, является посторонним.
Ответ: $14$.

1) Неравенство $|3x - 7| < 2$ равносильно двойному неравенству $-2 < 3x - 7 < 2$.
Прибавим 7 ко всем частям неравенства: $5 < 3x < 9$.
Разделим все части на 3: $5/3 < x < 3$.
Ответ: $(5/3; 3)$.

2) Решим неравенство $|4x + 3| > 2x - 1$.
Рассмотрим два случая.
1) Если $2x - 1 < 0$, то есть $x < 1/2$. В этом случае правая часть неравенства отрицательна, а левая часть (модуль) всегда неотрицательна. Неравенство $|4x+3| \ge 0 > 2x-1$ выполняется для всех $x$ из этого промежутка.
2) Если $2x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1/2$. В этом случае обе части неравенства неотрицательны. Неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
$4x + 3 > 2x - 1 \implies 2x > -4 \implies x > -2$. С учетом условия $x \ge 1/2$ получаем $x \ge 1/2$.
$4x + 3 < -(2x - 1) \implies 4x + 3 < -2x + 1 \implies 6x < -2 \implies x < -1/3$. Это решение не пересекается с условием $x \ge 1/2$.
Объединяя решения из двух случаев ($x < 1/2$ и $x \ge 1/2$), получаем, что неравенство верно для всех действительных чисел.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

3. Для построения графика функции $y = |x - 4| + |x + 2|$ раскроем модули. Выражения под модулями обращаются в ноль при $x=4$ и $x=-2$. Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка.
1) При $x \le -2$: оба подмодульных выражения неположительны, поэтому $y = -(x - 4) - (x + 2) = -x + 4 - x - 2 = -2x + 2$.
2) При $-2 < x \le 4$: выражение $x-4$ неположительно, а $x+2$ положительно, поэтому $y = -(x - 4) + (x + 2) = -x + 4 + x + 2 = 6$.
3) При $x > 4$: оба подмодульных выражения положительны, поэтому $y = (x - 4) + (x + 2) = x - 4 + x + 2 = 2x - 2$.
Таким образом, функция может быть записана в виде:
$y = \begin{cases} -2x + 2, & x \le -2 \\ 6, & -2 < x \le 4 \\ 2x - 2, & x > 4 \end{cases}$
График функции состоит из трех частей: луча $y = -2x + 2$, выходящего из точки $(-2, 6)$ влево; горизонтального отрезка $y = 6$ между точками $(-2, 6)$ и $(4, 6)$; и луча $y = 2x - 2$, выходящего из точки $(4, 6)$ вправо.
Ответ: График функции представляет собой ломаную линию, состоящую из луча $y = -2x + 2$ на промежутке $(-\infty, -2]$, отрезка $y=6$ на промежутке $[-2, 4]$ и луча $y = 2x - 2$ на промежутке $[4, \infty)$.

4. Решим уравнение $\frac{|x - 3|}{|x - 2| - 1} = 1$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, то есть $|x - 2| - 1 \neq 0 \implies |x - 2| \neq 1$. Это означает, что $x - 2 \neq 1$ и $x - 2 \neq -1$, откуда $x \neq 3$ и $x \neq 1$.
На ОДЗ уравнение равносильно $|x - 3| = |x - 2| - 1$, или $|x - 3| - |x - 2| = -1$.
Раскроем модули, рассмотрев три случая:
1) $x < 2$: $-(x - 3) - (-(x - 2)) = -1 \implies -x + 3 + x - 2 = -1 \implies 1 = -1$. Решений нет.
2) $2 \le x < 3$: $-(x - 3) - (x - 2) = -1 \implies -x + 3 - x + 2 = -1 \implies -2x + 5 = -1 \implies -2x = -6 \implies x = 3$. Это значение не входит в рассматриваемый промежуток.
3) $x \ge 3$: $(x - 3) - (x - 2) = -1 \implies x - 3 - x + 2 = -1 \implies -1 = -1$. Равенство верно для всех $x$ из этого промежутка, то есть для всех $x \ge 3$.
Учитывая ОДЗ ($x \neq 3$), получаем решение $x > 3$.
Ответ: $(3; +\infty)$.

5. Для определения количества корней уравнения $|2x - 3| = x + a$ в зависимости от параметра $a$ используем графический метод. Построим в одной системе координат графики функций $y = |2x - 3|$ и $y = x + a$.
График функции $y = |2x - 3|$ — это "галочка" с вершиной в точке, где $2x - 3 = 0$, то есть в точке $(1.5; 0)$. Ветви направлены вверх. При $x \ge 1.5$ это прямая $y = 2x - 3$ (с угловым коэффициентом 2), а при $x < 1.5$ — прямая $y = -(2x - 3) = -2x + 3$ (с угловым коэффициентом -2).
График функции $y = x + a$ — это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом 1. Параметр $a$ отвечает за сдвиг прямой по оси $y$.
Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения этих графиков.
1) Прямая $y = x + a$ не пересекает график $y = |2x - 3|$, если она проходит "ниже" вершины $(1.5; 0)$. Значение прямой в точке $x=1.5$ должно быть меньше 0: $1.5 + a < 0 \implies a < -1.5$. При $a < -1.5$ корней нет.
2) Прямая касается графика в его вершине, если она проходит через точку $(1.5; 0)$. Подставим координаты в уравнение прямой: $0 = 1.5 + a \implies a = -1.5$. При $a = -1.5$ уравнение имеет один корень.
3) Прямая пересекает обе ветви графика, если она проходит "выше" вершины $(1.5; 0)$. То есть $1.5 + a > 0 \implies a > -1.5$. При $a > -1.5$ уравнение имеет два корня.
Ответ: если $a < -1.5$, корней нет; если $a = -1.5$, один корень; если $a > -1.5$, два корня.