Номер 24, страница 16 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Самостоятельные работы - номер 24, страница 16.

Условие.

Самостоятельная работа № 24

Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной

1. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} 6x - 7 \ge 4x - 3 \\ 3x + 16 \ge 8x - 4 \end{cases}$

2) $\begin{cases} 0,3(x - 6) \le 0,5x + 1 \\ 4x + 7 > 2(x + 6,5) \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{5x - 4}{6} - 1 > \frac{2x + 1}{3} \\ \frac{3x + 1}{4} - 2x > 2,5 - \frac{3x - 2}{8} \end{cases}$

2. Решите совокупность неравенств:

1) $\left[\begin{array}{l} 2 \le x \le 6 \\ x < 2 \end{array}\right.$

2) $\left[\begin{array}{l} x \le 6 \\ x > 2 \end{array}\right.$

3. Сколько целых решений имеет неравенство $-3 \le 6x - 4 \le 2$?

4. Решите систему неравенств:

$\begin{cases} 2 < x < 8 \\ x < 0 \\ x \le 4 \end{cases}$

5. Решите неравенство:

1) $(x - 1)^2(x - 4) \ge 0$

2) $|x + 1|(x - 4) < 0$

6. При каких значениях параметра a множество решений системы неравенств

$\begin{cases} 2x - 1 > 0 \\ 3x - a \le 1 \end{cases}$ содержит три целых числа?

Решение.

1.

1) Решим систему неравенств $\begin{cases} 6x - 7 \ge 4x - 3, \\ 3x + 16 > 8x - 4 \end{cases}$.
Решаем первое неравенство:
$6x - 4x \ge 7 - 3$
$2x \ge 4$
$x \ge 2$
Решаем второе неравенство:
$16 + 4 > 8x - 3x$
$20 > 5x$
$4 > x$, или $x < 4$.
Решение системы — это пересечение полученных решений: $x \ge 2$ и $x < 4$.
Таким образом, $2 \le x < 4$.
Ответ: $x \in [2, 4)$.

2) Решим систему неравенств $\begin{cases} 0,3(x - 6) \le 0,5x + 1, \\ 4x + 7 > 2(x + 6,5) \end{cases}$.
Решаем первое неравенство:
$0,3x - 1,8 \le 0,5x + 1$
$-1,8 - 1 \le 0,5x - 0,3x$
$-2,8 \le 0,2x$
$x \ge \frac{-2,8}{0,2}$
$x \ge -14$
Решаем второе неравенство:
$4x + 7 > 2x + 13$
$4x - 2x > 13 - 7$
$2x > 6$
$x > 3$
Пересечение решений $x \ge -14$ и $x > 3$ дает $x > 3$.
Ответ: $x \in (3, +\infty)$.

3) Решим систему неравенств $\begin{cases} \frac{5x - 4}{6} - 1 > \frac{2x + 1}{3}, \\ \frac{3x + 1}{4} - 2x > 2,5 - \frac{3x - 2}{8} \end{cases}$.
Решаем первое неравенство. Умножим обе части на 6:
$(5x - 4) - 6 > 2(2x + 1)$
$5x - 10 > 4x + 2$
$5x - 4x > 2 + 10$
$x > 12$
Решаем второе неравенство. Умножим обе части на 8:
$2(3x + 1) - 8 \cdot 2x > 8 \cdot 2,5 - (3x - 2)$
$6x + 2 - 16x > 20 - 3x + 2$
$-10x + 2 > 22 - 3x$
$-10x + 3x > 22 - 2$
$-7x > 20$
$x < -\frac{20}{7}$
Нужно найти пересечение $x > 12$ и $x < -2\frac{6}{7}$. Таких значений $x$ не существует.
Ответ: $\emptyset$.

2.

1) Решим совокупность неравенств $\begin{bmatrix} 2 \le x \le 6, \\ x < 2 \end{bmatrix}$.
Решением совокупности является объединение множеств решений.
Первое условие задает промежуток $[2, 6]$.
Второе условие задает промежуток $(-\infty, 2)$.
Объединение этих промежутков: $(-\infty, 2) \cup [2, 6] = (-\infty, 6]$.
Ответ: $x \in (-\infty, 6]$.

2) Решим совокупность неравенств $\begin{bmatrix} x \le 6, \\ x > 2 \end{bmatrix}$.
Первое условие задает промежуток $(-\infty, 6]$.
Второе условие задает промежуток $(2, +\infty)$.
Объединение этих промежутков $(-\infty, 6] \cup (2, +\infty)$ покрывает всю числовую прямую.
Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

3. Найдем количество целых решений неравенства $-3 \le 6x - 4 \le 2$.
Решим это двойное неравенство относительно $x$.
Прибавим 4 ко всем частям:
$-3 + 4 \le 6x \le 2 + 4$
$1 \le 6x \le 6$
Разделим все части на 6:
$\frac{1}{6} \le x \le 1$
В промежутке $[\frac{1}{6}, 1]$ есть только одно целое число: 1.
Ответ: 1.

4. Решим систему неравенств $\begin{cases} x < 0, \\ x \le 4. \end{cases}$
Решением системы является пересечение множеств $x < 0$ и $x \le 4$.
Если число меньше 0, оно автоматически меньше или равно 4.
Следовательно, пересечением является множество $x < 0$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0)$.

5.

1) Решим неравенство $(x - 1)^2(x - 4) \ge 0$.
Множитель $(x - 1)^2$ всегда неотрицателен ( $\ge 0$ ).
Неравенство выполняется, если:
1) Левая часть равна нулю. Это происходит при $x - 1 = 0$ или $x - 4 = 0$, то есть при $x = 1$ или $x = 4$.
2) Левая часть строго больше нуля. Так как $(x - 1)^2 > 0$ при $x \ne 1$, нам нужно, чтобы $x - 4 > 0$, то есть $x > 4$.
Объединяя эти случаи, получаем решение $x = 1$ или $x \ge 4$.
Ответ: $x \in \{1\} \cup [4, +\infty)$.

2) Решим неравенство $|x + 1|(x - 4) < 0$.
Множитель $|x + 1|$ всегда неотрицателен. Поскольку неравенство строгое, произведение не может быть равно нулю, значит $x \ne -1$ и $x \ne 4$.
При $x \ne -1$ множитель $|x + 1|$ строго положителен. Чтобы произведение было отрицательным, второй множитель должен быть отрицательным:
$x - 4 < 0 \implies x < 4$.
Таким образом, решение должно удовлетворять двум условиям: $x < 4$ и $x \ne -1$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 4)$.

6. Найдем значения параметра $a$, при которых множество решений системы неравенств $\begin{cases} 2x - 1 > 0, \\ 3x - a \le 1 \end{cases}$ содержит три целых числа.
Решим систему относительно $x$.
Из первого неравенства: $2x > 1 \implies x > 0,5$.
Из второго неравенства: $3x \le 1 + a \implies x \le \frac{1 + a}{3}$.
Решением системы является промежуток $(\frac{1}{2}, \frac{1 + a}{3}]$.
Этот промежуток должен содержать ровно три целых числа. Целые числа, большие $0,5$, — это 1, 2, 3, и т.д.
Значит, искомые целые числа — это 1, 2 и 3.
Чтобы промежуток содержал числа 1, 2, 3, но не содержал 4, его правая граница $\frac{1 + a}{3}$ должна быть не меньше 3, но строго меньше 4.
Получаем двойное неравенство:
$3 \le \frac{1 + a}{3} < 4$
Умножим все части на 3:
$9 \le 1 + a < 12$
Вычтем 1 из всех частей:
$8 \le a < 11$
Ответ: $a \in [8, 11)$.