Номер 28, страница 18 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 28, страница 18.

Условие.

Самостоятельная работа № 28

Множество действительных чисел

1. Верно ли утверждение:

1) $-5,4 \in N$

2) $\sqrt{3} \in Q$

3) $\sqrt{3} \in R$

4) $\sqrt{25} \in Z$?

2. Сравните числа:

1) $\frac{5}{9}$ и $0,55$

2) $5,(16)$ и $5,16$

3) $-2,(35)$ и $-2,35$

4) $6,23...$ и $6,24...$

3. Найдите все рациональные числа $m$ и $n$ такие, что

$(\sqrt{5}-1)^2 = m+n\sqrt{5}$.

4. Докажите, что число $\sqrt{7}$ является иррациональным.

Решение.

1.

1) Утверждение неверно. Множество натуральных чисел $N$ состоит из целых положительных чисел, используемых при счете: $N = \{1, 2, 3, ...\}$. Число $-5,4$ является отрицательным и дробным, поэтому оно не принадлежит множеству натуральных чисел.
Ответ: неверно.

2) Утверждение неверно. Множество рациональных чисел $Q$ — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Число $\sqrt{3}$ является иррациональным, так как 3 не является полным квадратом целого числа, и корень из него не может быть представлен в виде конечной или периодической десятичной дроби.
Ответ: неверно.

3) Утверждение верно. Множество действительных чисел $R$ является объединением множеств рациональных ($Q$) и иррациональных ($I$) чисел. Поскольку $\sqrt{3}$ — иррациональное число, оно также является действительным числом.
Ответ: верно.

4) Утверждение верно. Множество целых чисел $Z$ включает в себя натуральные числа, им противоположные и ноль: $Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$. Поскольку $\sqrt{25} = 5$, а 5 является целым числом, то утверждение истинно.
Ответ: верно.

2.

1) Для сравнения чисел $\frac{5}{9}$ и $0,55$ представим обыкновенную дробь в виде десятичной:
$\frac{5}{9} = 5 : 9 = 0,555... = 0.(5)$.
Теперь сравним десятичные дроби $0.(5)$ и $0,55$:
$0.555... > 0.550...$
Отсюда, $\frac{5}{9} > 0,55$.
Ответ: $\frac{5}{9} > 0,55$.

2) Сравним $5,(16)$ и $5,16$. Запишем периодическую дробь в развернутом виде: $5,(16) = 5,161616...$
Сравниваем $5,161616...$ и $5,160000...$.
Целые части, а также разряды десятых и сотых у этих чисел совпадают. Однако в разряде тысячных у первого числа стоит цифра 1, а у второго 0. Так как $1 > 0$, то $5,(16) > 5,16$.
Ответ: $5,(16) > 5,16$.

3) Сравним отрицательные числа $-2,(35)$ и $-2,35$. Для этого сначала сравним их модули (абсолютные величины): $|-2,(35)| = 2,(35)$ и $|-2,35| = 2,35$.
$2,(35) = 2,353535...$
$2,35 = 2,350000...$
Так как $2,3535... > 2,3500...$, то $2,(35) > 2,35$.
Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Следовательно, $-2,(35) < -2,35$.
Ответ: $-2,(35) < -2,35$.

4) Сравним $6,23...$ и $6,24...$. Сравнение производим поразрядно слева направо. Целые части (6) и десятые (2) у чисел совпадают. В разряде сотых у первого числа стоит цифра 3, а у второго 4.
Так как $3 < 4$, то $6,23... < 6,24...$ независимо от последующих цифр.
Ответ: $6,23... < 6,24...$.

3. Требуется найти рациональные $m$ и $n$ из равенства $(\sqrt{5}-1)^2 = m+n\sqrt{5}$.
Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(\sqrt{5}-1)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5}$.
Теперь приравняем полученное выражение к правой части уравнения:
$6 - 2\sqrt{5} = m + n\sqrt{5}$.
Поскольку $m$ и $n$ — рациональные числа, а $\sqrt{5}$ — иррациональное, равенство выполняется тогда и только тогда, когда равны рациональные части и коэффициенты при иррациональных частях.
Приравнивая их, получаем:
$m = 6$
$n = -2$
Ответ: $m = 6, n = -2$.

4. Доказательство проведем методом от противного.
Предположим, что $\sqrt{7}$ — рациональное число. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in Z$ (целое число), а $q \in N$ (натуральное число).
$\sqrt{7} = \frac{p}{q}$.
Возведем обе части равенства в квадрат:
$7 = (\frac{p}{q})^2 \implies 7 = \frac{p^2}{q^2} \implies p^2 = 7q^2$.
Из последнего равенства следует, что $p^2$ делится нацело на 7. Так как 7 — простое число, то и само число $p$ должно делиться на 7.
Это означает, что $p$ можно представить в виде $p = 7k$ для некоторого целого $k$.
Подставим это выражение в равенство $p^2 = 7q^2$:
$(7k)^2 = 7q^2$
$49k^2 = 7q^2$
Разделим обе части на 7:
$7k^2 = q^2$.
Из этого равенства следует, что $q^2$ делится на 7, а значит, и $q$ делится на 7.
Таким образом, мы пришли к выводу, что и числитель $p$, и знаменатель $q$ делятся на 7. Это противоречит нашему исходному предположению о том, что дробь $\frac{p}{q}$ является несократимой.
Следовательно, наше предположение было неверным, и число $\sqrt{7}$ не является рациональным.
Ответ: что и требовалось доказать.