Номер 29, страница 18 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 29, страница 18.

Условие.

Самостоятельная работа № 29

Свойства арифметического квадратного корня

1. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{(-1,37)^2}$;

2) $\sqrt{1\frac{9}{16} \cdot \frac{49}{169}}$;

3) $\sqrt{3^8 \cdot 10^4}$;

4) $\sqrt{45} \cdot \sqrt{5}$;

5) $\frac{\sqrt{108}}{\sqrt{3}}$;

6) $\sqrt{2,5 \cdot 16,9}$.

2. Упростите выражение:

1) $\sqrt{0,64x^6y^{10}}$, если $x \ge 0, y \le 0$;

2) $\frac{x^2 - 8x + 16}{x + 1} \sqrt{\frac{x^2 + 2x + 1}{(x - 4)^2}}$, если $-1 < x < 4$.

3. При каких значениях $x$ верно равенство:

1) $\sqrt{(x - 3)^2} = (\sqrt{3 - x})^2$;

2) $\sqrt{(x - 4)(x - 1)} = \sqrt{x - 4}\sqrt{x - 1}$?

4. Постройте график функции:

$y = \sqrt{x^2 - 2x + 5}$, если $x \le 0$.

5. Упростите выражение:

$\sqrt{a^2 - 17a + 66} + \sqrt{a^2 - 4a + 4}$, если $a > 2$.

Решение.

1. Найдите значение выражения:

1) Используя свойство арифметического квадратного корня $ \sqrt{a^2} = |a| $, получаем: $ \sqrt{(-1,37)^2} = |-1,37| = 1,37 $.
Ответ: $1,37$.

2) Сначала переведем смешанную дробь в неправильную и воспользуемся свойством корня из произведения $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $: $ \sqrt{1\frac{9}{16} \cdot \frac{49}{169}} = \sqrt{\frac{25}{16} \cdot \frac{49}{169}} = \sqrt{\frac{25}{16}} \cdot \sqrt{\frac{49}{169}} = \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{13} = \frac{35}{52} $.
Ответ: $ \frac{35}{52} $.

3) Используем свойства $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $ и $ \sqrt{a^{2n}} = a^n $ (для $ a \ge 0 $): $ \sqrt{3^8 \cdot 10^4} = \sqrt{3^8} \cdot \sqrt{10^4} = \sqrt{(3^4)^2} \cdot \sqrt{(10^2)^2} = 3^4 \cdot 10^2 = 81 \cdot 100 = 8100 $.
Ответ: $8100$.

4) Используя свойство $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $: $ \sqrt{45} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{45 \cdot 5} = \sqrt{225} = 15 $.
Ответ: $15$.

5) Используя свойство $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $: $ \frac{\sqrt{108}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{108}{3}} = \sqrt{36} = 6 $.
Ответ: $6$.

6) Представим десятичные дроби в виде произведения: $ \sqrt{2,5 \cdot 16,9} = \sqrt{25 \cdot 0,1 \cdot 169 \cdot 0,1} = \sqrt{25 \cdot 169 \cdot 0,01} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{169} \cdot \sqrt{0,01} = 5 \cdot 13 \cdot 0,1 = 6,5 $.
Ответ: $6,5$.

2. Упростите выражение:

1) Используем свойство $ \sqrt{a^2} = |a| $. Выражение $ \sqrt{0,64x^6y^{10}} $ можно переписать как $ \sqrt{0,64} \cdot \sqrt{(x^3)^2} \cdot \sqrt{(y^5)^2} = 0,8 \cdot |x^3| \cdot |y^5| $. По условию $ x \ge 0 $, следовательно $ x^3 \ge 0 $ и $ |x^3| = x^3 $. По условию $ y \le 0 $, следовательно $ y^5 \le 0 $ и $ |y^5| = -y^5 $. Таким образом, выражение равно: $ 0,8 \cdot x^3 \cdot (-y^5) = -0,8x^3y^5 $.
Ответ: $ -0,8x^3y^5 $.

2) Упростим подкоренное выражение и множитель перед корнем, используя формулы сокращенного умножения: $ x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2 $ и $ x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 $. Исходное выражение принимает вид: $ \frac{(x - 4)^2}{x + 1} \sqrt{\frac{(x + 1)^2}{(x - 4)^2}} $. Извлечем корень: $ \sqrt{\frac{(x + 1)^2}{(x - 4)^2}} = \frac{\sqrt{(x + 1)^2}}{\sqrt{(x - 4)^2}} = \frac{|x + 1|}{|x - 4|} $. Выражение становится: $ \frac{(x - 4)^2}{x + 1} \cdot \frac{|x + 1|}{|x - 4|} $. По условию $ -1 < x < 4 $. Для этого интервала $ x + 1 > 0 $, поэтому $ |x + 1| = x + 1 $. Также $ x - 4 < 0 $, поэтому $ |x - 4| = -(x - 4) = 4 - x $. Подставляем раскрытые модули в выражение: $ \frac{(x - 4)^2}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{4 - x} $. Сокращаем $ (x + 1) $ (т.к. $ x \neq -1 $). $ \frac{(x - 4)^2}{4 - x} $. Так как $ (x - 4)^2 = (-(4 - x))^2 = (4 - x)^2 $, получаем: $ \frac{(4 - x)^2}{4 - x} = 4 - x $.
Ответ: $ 4 - x $.

3. При каких значениях x верно равенство:

1) Рассмотрим равенство $ \sqrt{(x - 3)^2} = (\sqrt{3} - x)^2 $. Левая часть: $ \sqrt{(x - 3)^2} = |x - 3| $. Правая часть: $ (\sqrt{3} - x)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot x + x^2 = 3 - 2\sqrt{3}x + x^2 $. Получаем уравнение: $ |x - 3| = x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 $. Рассмотрим два случая:
а) Если $ x \ge 3 $, то $ |x - 3| = x - 3 $. Уравнение $ x - 3 = x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 $ или $ x^2 - (1 + 2\sqrt{3})x + 6 = 0 $. Дискриминант $ D = (1 + 2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 6 = 1 + 4\sqrt{3} + 12 - 24 = 4\sqrt{3} - 11 $. Так как $ (4\sqrt{3})^2 = 48 $ и $ 11^2 = 121 $, то $ D < 0 $, и в этом случае действительных корней нет.
б) Если $ x < 3 $, то $ |x - 3| = -(x - 3) = 3 - x $. Уравнение $ 3 - x = x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 $ или $ x^2 - (2\sqrt{3} - 1)x = 0 $. $ x(x - (2\sqrt{3} - 1)) = 0 $. Отсюда $ x_1 = 0 $ или $ x_2 = 2\sqrt{3} - 1 $. Проверим, удовлетворяют ли корни условию $ x < 3 $. $ x_1 = 0 < 3 $, корень подходит. $ x_2 = 2\sqrt{3} - 1 \approx 2 \cdot 1,732 - 1 = 2,464 < 3 $, корень подходит.
Ответ: $ x=0; x=2\sqrt{3}-1 $.

2) Равенство $ \sqrt{(x - 4)(x - 1)} = \sqrt{x - 4} \sqrt{x - 1} $ является свойством корня из произведения $ \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} $. Это свойство верно только в том случае, когда оба множителя под корнем неотрицательны: $ a \ge 0 $ и $ b \ge 0 $. Следовательно, для выполнения равенства необходимо, чтобы оба выражения под корнями в правой части были определены, то есть: $ x - 4 \ge 0 $ и $ x - 1 \ge 0 $. Решаем систему неравенств: $ x \ge 4 $ и $ x \ge 1 $. Пересечением этих двух условий является $ x \ge 4 $. При этих значениях $ x $ обе части равенства определены и равны.
Ответ: $ x \in [4, +\infty) $.

4. Постройте график функции $ y = \sqrt{x^2 - 2x + 5} $, если $ x \le 0 $.

Преобразуем выражение под корнем, выделив полный квадрат: $ x^2 - 2x + 5 = (x^2 - 2x + 1) + 4 = (x - 1)^2 + 4 $. Таким образом, функция имеет вид $ y = \sqrt{(x - 1)^2 + 4} $. Поскольку $ (x - 1)^2 \ge 0 $, подкоренное выражение всегда положительно ($ \ge 4 $), и функция определена для всех $ x $. Нас интересует только часть графика при $ x \le 0 $. График этой функции является верхней ветвью гиперболы $ y^2 = (x-1)^2 + 4 $, или $ y^2 - (x-1)^2 = 4 $. Для построения графика найдем несколько точек:
- При $ x = 0 $: $ y = \sqrt{0^2 - 2(0) + 5} = \sqrt{5} \approx 2,24 $. Точка $ (0, \sqrt{5}) $.
- При $ x = -1 $: $ y = \sqrt{(-1)^2 - 2(-1) + 5} = \sqrt{1 + 2 + 5} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2,83 $. Точка $ (-1, 2\sqrt{2}) $.
- При $ x = -2 $: $ y = \sqrt{(-2)^2 - 2(-2) + 5} = \sqrt{4 + 4 + 5} = \sqrt{13} \approx 3,61 $. Точка $ (-2, \sqrt{13}) $.
Описание графика: График начинается в точке $ (0, \sqrt{5}) $ на оси OY. При уменьшении $ x $ (движении влево по оси OX), значение $ y $ увеличивается. График представляет собой гладкую кривую, уходящую вверх и влево. При $ x \to -\infty $ график асимптотически приближается к прямой $ y = -x + 1 $.
Ответ: График — часть верхней ветви гиперболы $ y^2 - (x-1)^2 = 4 $, проходящая через точку $ (0, \sqrt{5}) $ и уходящая в левую верхнюю четверть, асимптотически приближаясь к прямой $ y = -x + 1 $.

5. Упростите выражение $ \sqrt{a^2 - 17a + 66 + \sqrt{a^2 - 4a + 4}} $, если $ a > 2 $.

Выражение представляет собой вложенные корни. Упростим сначала внутренний корень: $ \sqrt{a^2 - 4a + 4} = \sqrt{(a - 2)^2} = |a - 2| $. По условию $ a > 2 $, значит $ a - 2 > 0 $, и $ |a - 2| = a - 2 $. Подставим это в исходное выражение: $ \sqrt{a^2 - 17a + 66 + (a - 2)} $. Упростим выражение под внешним корнем: $ a^2 - 17a + 66 + a - 2 = a^2 - 16a + 64 $. Это выражение является полным квадратом: $ a^2 - 16a + 64 = (a - 8)^2 $. Таким образом, исходное выражение равно: $ \sqrt{(a - 8)^2} = |a - 8| $. Результат зависит от того, больше или меньше $ a $ числа 8. Условие $ a > 2 $ не дает однозначного ответа. Поэтому рассмотрим два случая:
1) Если $ 2 < a < 8 $, то $ a - 8 < 0 $, и $ |a - 8| = -(a - 8) = 8 - a $.
2) Если $ a \ge 8 $, то $ a - 8 \ge 0 $, и $ |a - 8| = a - 8 $.
Ответ: $ 8 - a $, если $ 2 < a < 8 $; $ a - 8 $, если $ a \ge 8 $.