Номер 33, страница 20 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 33, страница 20.

Условие.

Самостоятельная работа № 33

Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений

1. Решите уравнение:

1) $x^2 + 12x = 0$;

2) $6x^2 - 18 = 0$;

3) $x^2 + 25 = 0$.

2. При каком значении параметра $a$ число 3 является корнем уравнения $x^2 + ax - 51 = 0$?

3. Решите уравнение:

1) $(2x - 7)^2 - 7(7 + 2x) = 0$;

2) $x^2 - 8|x| = 0$;

3) $x^2 - 4|x| + 5x = 0$.

4. При каких значениях параметра $a$ корни уравнения $x^2 + (a^2 - 4)x + 2a - 1 = 0$ являются противоположными числами?

Решение.

1) Решение уравнения $x^2 + 12x = 0$.
Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 12) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x_1 = 0$ или $x + 12 = 0$
Из второго уравнения находим $x_2 = -12$.
Ответ: -12; 0.

2) Решение уравнения $6x^2 - 18 = 0$.
Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим на коэффициент при $x^2$:
$6x^2 = 18$
$x^2 = \frac{18}{6}$
$x^2 = 3$
$x = \pm\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{3}; \sqrt{3}$.

3) Решение уравнения $x^2 + 25 = 0$.
Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$x^2 = -25$
Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет корней.

2. Если число 3 является корнем уравнения $x^2 + ax - 51 = 0$, то при подстановке значения $x=3$ в уравнение мы получим верное числовое равенство. Выполним подстановку:
$3^2 + a \cdot 3 - 51 = 0$
$9 + 3a - 51 = 0$
$3a - 42 = 0$
$3a = 42$
$a = \frac{42}{3}$
$a = 14$
Ответ: 14.

1) Решение уравнения $(2x - 7)^2 - 7(7 + 2x) = 0$.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности и распределительный закон:
$(4x^2 - 2 \cdot 2x \cdot 7 + 49) - (49 + 14x) = 0$
$4x^2 - 28x + 49 - 49 - 14x = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$4x^2 - 42x = 0$
Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:
$2x(2x - 21) = 0$
Отсюда $2x = 0$ или $2x - 21 = 0$.
$x_1 = 0$
$2x = 21 \implies x_2 = \frac{21}{2} = 10,5$.
Ответ: 0; 10,5.

2) Решение уравнения $x^2 - 8|x| = 0$.
Так как $x^2 = |x|^2$ для любого действительного $x$, мы можем переписать уравнение:
$|x|^2 - 8|x| = 0$
Вынесем $|x|$ за скобки:
$|x|(|x| - 8) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$|x| = 0 \implies x_1 = 0$
или
$|x| - 8 = 0 \implies |x| = 8 \implies x_2 = 8, x_3 = -8$.
Ответ: -8; 0; 8.

3) Решение уравнения $x^2 - 4|x| + 5x = 0$.
Для решения уравнения с модулем рассмотрим два случая.
Случай 1: $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$.
$x^2 - 4x + 5x = 0$
$x^2 + x = 0$
$x(x + 1) = 0$
Получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$. Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только $x_1 = 0$.
Случай 2: $x < 0$. В этом случае $|x| = -x$.
$x^2 - 4(-x) + 5x = 0$
$x^2 + 4x + 5x = 0$
$x^2 + 9x = 0$
$x(x + 9) = 0$
Получаем корни $x_3 = 0$ и $x_4 = -9$. Условию $x < 0$ удовлетворяет только $x_4 = -9$.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня.
Ответ: -9; 0.

4. Корни приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ являются противоположными числами ($x_1 = -x_2$, $x_1 \neq 0$), если их сумма равна нулю, а произведение отрицательно. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 x_2 = q$.
Таким образом, должны выполняться условия:1) $-p = 0 \implies p=0$2) $q < 0$
В нашем уравнении $x^2 + (a^2 - 4)x + 2a - 1 = 0$:
$p = a^2 - 4$
$q = 2a - 1$
Применим первое условие:
$a^2 - 4 = 0$
$(a - 2)(a + 2) = 0$
Возможные значения параметра: $a = 2$ или $a = -2$.
Теперь применим второе условие $q < 0$ для найденных значений $a$:
$2a - 1 < 0 \implies 2a < 1 \implies a < 0,5$
Проверяем значения $a$:
- при $a = 2$: $2 < 0,5$ (неверно).- при $a = -2$: $-2 < 0,5$ (верно).
Следовательно, единственное значение параметра, при котором корни уравнения противоположны, это $a = -2$.
Ответ: -2.