Номер 34, страница 21 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 34, страница 21.

Условие.

Самостоятельная работа № 34

Формула корней квадратного уравнения

1. Решите уравнение:

1) $x^2 + 5x - 14 = 0;$

2) $3x^2 - 4x - 5 = 0;$

3) $x^2 - 8x + 18 = 0.$

2. Найдите три последовательных натуральных числа, если удвоенный квадрат первого из них на 26 больше произведения второго и третьего чисел.

3. Решите уравнение:

1) $|x^2 - x - 1| = 1;$

2) $x|x| + 8x - 7 = 0;$

3) $x^2 - 6x + \frac{7}{x - 5} = \frac{7}{x - 5} - 5;$

4) $(\sqrt{x} - 3)(18x^2 - 9x - 5) = 0.$

4. При каких значениях параметра $b$ имеет единственный корень уравнение:

1) $2x^2 + bx + 8 = 0;$

2) $(b + 5)x^2 + (2b + 10)x + 4 = 0.$

Решение.

1. Решите уравнение:

1) $x^2 + 5x - 14 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=5$, $c=-14$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.
Ответ: $-7; 2$.

2) $3x^2 - 4x - 5 = 0$

Это квадратное уравнение, где $a=3$, $b=-4$, $c=-5$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 16 + 60 = 76$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{4 \cdot 19}}{6} = \frac{4 \pm 2\sqrt{19}}{6} = \frac{2(2 \pm \sqrt{19})}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{19}}{3}$.
Ответ: $\frac{2 - \sqrt{19}}{3}; \frac{2 + \sqrt{19}}{3}$.

3) $x^2 - 8x + 18 = 0$

Это квадратное уравнение, где $a=1$, $b=-8$, $c=18$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 64 - 72 = -8$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

2. Найдите три последовательных натуральных числа, если удвоенный квадрат первого из них на 26 больше произведения второго и третьего чисел.

Пусть искомые три последовательных натуральных числа равны $n$, $n+1$, $n+2$, где $n \in \mathbb{N}$.
Удвоенный квадрат первого числа: $2n^2$.
Произведение второго и третьего чисел: $(n+1)(n+2)$.
По условию задачи, удвоенный квадрат первого числа на 26 больше произведения второго и третьего. Составим уравнение:
$2n^2 = (n+1)(n+2) + 26$
$2n^2 = n^2 + 2n + n + 2 + 26$
$2n^2 = n^2 + 3n + 28$
$2n^2 - n^2 - 3n - 28 = 0$
$n^2 - 3n - 28 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $3$, а произведение равно $-28$. Корни: $n_1 = 7$ и $n_2 = -4$.
Так как искомые числа - натуральные, $n$ должно быть натуральным числом. Поэтому корень $n_2 = -4$ не подходит.
Следовательно, первое число $n=7$.
Второе число: $n+1 = 8$.
Третье число: $n+2 = 9$.
Проверка: $2 \cdot 7^2 = 2 \cdot 49 = 98$. $8 \cdot 9 = 72$. $98 - 72 = 26$. Условие выполняется.
Ответ: 7, 8, 9.

3. Решите уравнение:

1) $|x^2 - x - 1| = 1$

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
1) $x^2 - x - 1 = 1$
$x^2 - x - 2 = 0$
По теореме Виета: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.
2) $x^2 - x - 1 = -1$
$x^2 - x = 0$
$x(x-1) = 0$
$x_3 = 0$, $x_4 = 1$.
Объединяя решения, получаем четыре корня.
Ответ: $-1; 0; 1; 2$.

2) $x|x| + 8x - 7 = 0$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $x \ge 0$. Тогда $|x|=x$.
$x \cdot x + 8x - 7 = 0$
$x^2 + 8x - 7 = 0$
$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 64 + 28 = 92$.
$x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{92}}{2} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{23}}{2} = -4 \pm \sqrt{23}$.
$x_1 = -4 + \sqrt{23}$. Так как $\sqrt{16} < \sqrt{23} < \sqrt{25}$, то $4 < \sqrt{23} < 5$, значит $-4 + \sqrt{23} > 0$. Этот корень удовлетворяет условию $x \ge 0$.
$x_2 = -4 - \sqrt{23} < 0$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge 0$.
Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x|=-x$.
$x \cdot (-x) + 8x - 7 = 0$
$-x^2 + 8x - 7 = 0$
$x^2 - 8x + 7 = 0$
По теореме Виета, корни $x_3 = 1$ и $x_4 = 7$. Оба корня не удовлетворяют условию $x < 0$.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $\sqrt{23}-4$.

3) $x^2 - 6x + \frac{7}{x-5} = \frac{7}{x-5} - 5$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x-5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$.
Перенесем все члены в левую часть и упростим:
$x^2 - 6x + \frac{7}{x-5} - \frac{7}{x-5} + 5 = 0$
$x^2 - 6x + 5 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ.
$x_1 = 1$ удовлетворяет условию $x \neq 5$.
$x_2 = 5$ не удовлетворяет условию $x \neq 5$, поэтому это посторонний корень.
Следовательно, уравнение имеет один корень.
Ответ: $1$.

4) $(\sqrt{x}-3)(18x^2 - 9x - 5) = 0$

ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x \ge 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $\sqrt{x} - 3 = 0$
$\sqrt{x} = 3$
$x = 9$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($9 \ge 0$).
2) $18x^2 - 9x - 5 = 0$
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-5) = 81 + 360 = 441 = 21^2$.
$x_{1,2} = \frac{9 \pm 21}{2 \cdot 18} = \frac{9 \pm 21}{36}$.
$x_1 = \frac{9 + 21}{36} = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($\frac{5}{6} \ge 0$).
$x_2 = \frac{9 - 21}{36} = \frac{-12}{36} = -\frac{1}{3}$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($-\frac{1}{3} < 0$).
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $\frac{5}{6}; 9$.

4. При каких значениях параметра b имеет единственный корень уравнение:

1) $2x^2 + bx + 8 = 0$

Это квадратное уравнение, так как коэффициент при $x^2$ равен $2 \neq 0$. Квадратное уравнение имеет единственный корень, когда его дискриминант равен нулю ($D=0$).
$D = b^2 - 4ac = b^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = b^2 - 64$.
Приравняем дискриминант к нулю:
$b^2 - 64 = 0$
$b^2 = 64$
$b = \pm 8$.
Ответ: при $b = -8$ или $b = 8$.

2) $(b+5)x^2 + (2b+10)x + 4 = 0$

Рассмотрим два случая.
Случай 1: Уравнение является линейным. Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю.
$b+5 = 0 \Rightarrow b = -5$.
Подставим $b=-5$ в исходное уравнение:
$(-5+5)x^2 + (2(-5)+10)x + 4 = 0$
$0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 4 = 0$
$4 = 0$.
Получено неверное равенство, значит при $b=-5$ уравнение не имеет корней.
Случай 2: Уравнение является квадратным. Это происходит, когда $b+5 \neq 0$, то есть $b \neq -5$.
Квадратное уравнение имеет единственный корень, когда его дискриминант равен нулю ($D=0$).
$a = b+5$, $b_{коэф} = 2b+10 = 2(b+5)$, $c = 4$.
$D = (2b+10)^2 - 4 \cdot (b+5) \cdot 4 = (2(b+5))^2 - 16(b+5) = 4(b+5)^2 - 16(b+5)$.
$4(b+5)^2 - 16(b+5) = 0$.
Вынесем общий множитель $4(b+5)$ за скобки:
$4(b+5)((b+5) - 4) = 0$
$4(b+5)(b+1) = 0$
Отсюда $b+5=0$ или $b+1=0$.
$b_1 = -5$, $b_2 = -1$.
Значение $b_1 = -5$ не удовлетворяет условию $b \neq -5$ для этого случая.
Значение $b_2 = -1$ удовлетворяет условию $b \neq -5$.
Следовательно, уравнение имеет единственный корень только при $b=-1$.
Ответ: при $b = -1$.