Номер 40, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Самостоятельные работы - номер 40, страница 23.

Условие.

Самостоятельная работа № 40

Деление многочленов

1. Докажите, что многочлен $x^3 - x^2 - 3x + 2$ делится нацело на многочлен $x^2 + x - 1$.

2. Докажите, что многочлен $x^3 + 2x - 5$ не делится нацело на многочлен $x + 1$.

3. Выделите целую часть из рациональной дроби $\frac{3x^4 + 5x^3 - 2x^2 + x - 5}{x^2 - x + 4}$.

Решение.

1. Чтобы доказать, что многочлен $x^3 - x^2 - 3x + 2$ делится нацело на многочлен $x^2 + x - 1$, выполним деление многочленов "в столбик".

Шаг 1: Делим старший член делимого ($x^3$) на старший член делителя ($x^2$), получаем первый член частного: $x$.
Умножаем делитель $x^2 + x - 1$ на $x$: $x(x^2 + x - 1) = x^3 + x^2 - x$.
Вычитаем полученный результат из делимого: $(x^3 - x^2 - 3x + 2) - (x^3 + x^2 - x) = -2x^2 - 2x + 2$.

Шаг 2: Делим старший член нового делимого ($-2x^2$) на старший член делителя ($x^2$), получаем второй член частного: $-2$.
Умножаем делитель $x^2 + x - 1$ на $-2$: $-2(x^2 + x - 1) = -2x^2 - 2x + 2$.
Вычитаем полученный результат из нового делимого: $(-2x^2 - 2x + 2) - (-2x^2 - 2x + 2) = 0$.

Остаток от деления равен нулю. Это означает, что многочлен $x^3 - x^2 - 3x + 2$ делится на $x^2 + x - 1$ нацело. Частное от деления равно $x-2$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Так как при делении многочлена $x^3 - x^2 - 3x + 2$ на $x^2 + x - 1$ остаток равен 0, то он делится нацело.

2. Для доказательства воспользуемся теоремой Безу. Она гласит, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x - a$ равен значению этого многочлена в точке $a$, то есть $P(a)$.

В нашем случае делимый многочлен $P(x) = x^3 + 2x - 5$, а делитель — это $x + 1$. Представим делитель в виде $x - a$, где $a = -1$.
Чтобы найти остаток от деления, вычислим значение многочлена $P(x)$ при $x = -1$:
$P(-1) = (-1)^3 + 2(-1) - 5 = -1 - 2 - 5 = -8$.

Остаток от деления равен -8. Поскольку остаток не равен нулю, многочлен $x^3 + 2x - 5$ не делится нацело на многочлен $x + 1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Многочлен не делится нацело, так как остаток от деления равен -8.

3. Чтобы выделить целую часть из рациональной дроби, необходимо выполнить деление многочлена в числителе на многочлен в знаменателе. Выполним деление $\frac{3x^4 + 5x^3 - 2x^2 + x - 5}{x^2 - x + 4}$ "в столбик".

1. Делим старший член делимого ($3x^4$) на старший член делителя ($x^2$), получаем первый член целой части: $3x^2$.
Умножаем $3x^2$ на делитель: $3x^2(x^2 - x + 4) = 3x^4 - 3x^3 + 12x^2$.
Вычитаем результат из делимого: $(3x^4 + 5x^3 - 2x^2 + x - 5) - (3x^4 - 3x^3 + 12x^2) = 8x^3 - 14x^2 + x - 5$.

2. Делим старший член полученного остатка ($8x^3$) на старший член делителя ($x^2$), получаем второй член целой части: $8x$.
Умножаем $8x$ на делитель: $8x(x^2 - x + 4) = 8x^3 - 8x^2 + 32x$.
Вычитаем результат: $(8x^3 - 14x^2 + x - 5) - (8x^3 - 8x^2 + 32x) = -6x^2 - 31x - 5$.

3. Делим старший член нового остатка ($-6x^2$) на старший член делителя ($x^2$), получаем третий член целой части: $-6$.
Умножаем $-6$ на делитель: $-6(x^2 - x + 4) = -6x^2 + 6x - 24$.
Вычитаем результат: $(-6x^2 - 31x - 5) - (-6x^2 + 6x - 24) = -37x + 19$.

Степень многочлена в остатке ($-37x + 19$) меньше степени многочлена в делителе, поэтому деление завершено.
Целая часть (частное) равна $3x^2 + 8x - 6$.
Таким образом, дробь можно представить в виде: $3x^2 + 8x - 6 + \frac{-37x + 19}{x^2 - x + 4}$.

Ответ: $3x^2 + 8x - 6$.