Номер 1, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Самостоятельные работы - номер 1, страница 25.

Условие.

Самостоятельная работа № 1

Множество. Подмножества данного множества

1. Дана функция $f(x) = 4 + |x|$. Какие из следующих утверждений являются верными:

1) $2 \notin D(f)$;

2) $3 \in D(f)$;

3) $2 \in E(f)$;

4) $3 \notin E(f)$?

2. Запишите все собственные подмножества множества натуральных делителей числа 10.

3. Изобразите с помощью диаграммы Эйлера соотношение между множествами $A$, $B$ и $C$, если: $A = \{3, 4, 6, 7\}$, $B = \{4, 6\}$, $C = \{3, 7\}$.

Решение.

1. Для функции $f(x) = 4 + |x|$ проанализируем каждое утверждение.

Сначала найдем область определения функции, $D(f)$. Выражение $4 + |x|$ определено для любого действительного числа $x$, так как модуль числа можно вычислить для любого $x$. Следовательно, область определения $D(f)$ — это множество всех действительных чисел, $D(f) = \mathbb{R}$.

Теперь проверим утверждения 1) и 2):

• 1) $2 \notin D(f)$: Утверждение "2 не принадлежит области определения". Это неверно, так как $2$ является действительным числом, и значит $2 \in D(f)$.
• 2) $3 \in D(f)$: Утверждение "3 принадлежит области определения". Это верно, так как $3$ является действительным числом.

Далее найдем область значений функции, $E(f)$. Мы знаем, что модуль любого числа неотрицателен, то есть $|x| \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$. Тогда $f(x) = 4 + |x| \ge 4 + 0$, что означает $f(x) \ge 4$. Следовательно, область значений функции — это все числа, большие или равные 4, то есть $E(f) = [4; +\infty)$.

Проверим утверждения 3) и 4):

• 3) $2 \in E(f)$: Утверждение "2 принадлежит области значений". Это неверно, так как $2 < 4$, а все значения функции не меньше 4.
• 4) $3 \notin E(f)$: Утверждение "3 не принадлежит области значений". Это верно, так как $3 < 4$.

Таким образом, верными являются утверждения 2 и 4.

Ответ: 2), 4).

2. Сначала найдем множество натуральных делителей числа 10. Натуральные числа, на которые 10 делится без остатка, это 1, 2, 5, 10. Обозначим это множество как $M = \{1, 2, 5, 10\}$.

Собственное подмножество множества $M$ — это любое его подмножество, не совпадающее с самим множеством $M$. Всего у множества из 4 элементов есть $2^4 = 16$ подмножеств. Исключая само множество $M$, мы получаем 15 собственных подмножеств.

Перечислим все собственные подмножества:

• Пустое множество: $\emptyset$
• Подмножества из одного элемента: $\{1\}$, $\{2\}$, $\{5\}$, $\{10\}$
• Подмножества из двух элементов: $\{1, 2\}$, $\{1, 5\}$, $\{1, 10\}$, $\{2, 5\}$, $\{2, 10\}$, $\{5, 10\}$
• Подмножества из трех элементов: $\{1, 2, 5\}$, $\{1, 2, 10\}$, $\{1, 5, 10\}$, $\{2, 5, 10\}$

Ответ: $\emptyset$, $\{1\}$, $\{2\}$, $\{5\}$, $\{10\}$, $\{1, 2\}$, $\{1, 5\}$, $\{1, 10\}$, $\{2, 5\}$, $\{2, 10\}$, $\{5, 10\}$, $\{1, 2, 5\}$, $\{1, 2, 10\}$, $\{1, 5, 10\}$, $\{2, 5, 10\}$.

3. Даны множества $A = \{3, 4, 6, 7\}$, $B = \{4, 6\}$, $C = \{3, 7\}$.

Проанализируем соотношение между множествами:

• Все элементы множества $B$ (4 и 6) содержатся в множестве $A$. Следовательно, $B$ является подмножеством $A$ ($B \subset A$).
• Все элементы множества $C$ (3 и 7) содержатся в множестве $A$. Следовательно, $C$ является подмножеством $A$ ($C \subset A$).
• Множества $B$ и $C$ не имеют общих элементов, то есть их пересечение пусто: $B \cap C = \emptyset$.
• Объединение множеств $B$ и $C$ дает в точности множество $A$: $B \cup C = \{4, 6\} \cup \{3, 7\} = \{3, 4, 6, 7\} = A$.

Диаграмма Эйлера, изображающая эти соотношения, будет выглядеть так: множество $A$ полностью состоит из двух непересекающихся подмножеств $B$ и $C$.

Ответ: