Номер 3, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 3, страница 25.

Условие.

Самостоятельная работа № 3

Формулы включения-исключения.

Взаимно однозначное соответствие

1. Докажите, что количество четырёхзначных чисел равно количеству шестизначных чисел, в записи которых третья и шестая цифры (считая слева направо) соответственно равны 1 и 8.

2. Из 37 студентов университета английский язык изучают 25 человек, а немецкий язык — 20 человек. Сколько студентов изучают и английский, и немецкий языки?

Решение.

1.

Для доказательства равенства количеств чисел в двух указанных группах, найдём количество чисел в каждой из них.

Количество четырёхзначных чисел.
Четырёхзначное число не может начинаться с нуля. Поэтому для первой цифры есть 9 вариантов (от 1 до 9). Для каждой из трёх последующих цифр есть по 10 вариантов (от 0 до 9). Общее количество четырёхзначных чисел равно произведению количества вариантов для каждой цифры: $N_4 = 9 \times 10 \times 10 \times 10 = 9000$.

Количество шестизначных чисел, у которых третья цифра 1, а шестая 8.
Такое число имеет вид $d_1 d_2 1 d_4 d_5 8$. Первая цифра $d_1$ не может быть нулём (9 вариантов). Вторая $d_2$, четвёртая $d_4$ и пятая $d_5$ цифры могут быть любыми (по 10 вариантов для каждой). Третья и шестая цифры фиксированы (по 1 варианту). Общее количество таких шестизначных чисел равно: $N_6 = 9 \times 10 \times 1 \times 10 \times 10 \times 1 = 9000$.

Так как $N_4 = 9000$ и $N_6 = 9000$, количества чисел в обеих группах равны. Это равенство также можно доказать, установив взаимно однозначное соответствие (биекцию) между множествами этих чисел, при котором каждому четырёхзначному числу $d_1d_2d_3d_4$ сопоставляется шестизначное число $d_1d_21d_3d_48$.

Ответ: Утверждение доказано, так как количество чисел в обоих случаях равно 9000.

2.

Для решения задачи воспользуемся формулой включений-исключений.

Пусть $A$ — это множество студентов, изучающих английский язык, а $B$ — множество студентов, изучающих немецкий язык. По условию, в университете 37 студентов. Количество студентов в множествах: $|A| = 25$ и $|B| = 20$. Нам необходимо найти количество студентов, изучающих оба языка, то есть размер пересечения множеств, $|A \cap B|$.

Общее количество "занятий", посещаемых студентами, равно $|A| + |B| = 25 + 20 = 45$. Поскольку это число больше общего количества студентов (37), это означает, что некоторые студенты изучают оба языка. Также это означает, что нет студентов, не изучающих ни одного языка, так как для "покрытия" всех 37 студентов уже требуется пересечение. Таким образом, объединение множеств $A$ и $B$ равно общему числу студентов: $|A \cup B| = 37$.

Формула включений-исключений для двух множеств имеет вид: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Подставим известные значения в формулу: $37 = 25 + 20 - |A \cap B|$
$37 = 45 - |A \cap B|$

Отсюда находим $|A \cap B|$: $|A \cap B| = 45 - 37 = 8$

Ответ: 8.