Номер 2, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Самостоятельные работы - номер 2, страница 25.

Условие.

Самостоятельная работа № 2

Операции над множествами

1. Пусть $A$ и $B$ — множества цифр, используемых соответственно для записи чисел 5772 и 375. Найдите:

1) $A \cap B$; 2) $A \cup B$; 3) $A \setminus B$.

2. Даны множества $A = \{x \mid x \in Z, -1 < x \le 5\}$ и $B = \{x \mid x \in Z, x \ge 1\}$.

Задайте перечислением элементов множество:

1) $A \cap B$; 2) $A \setminus B$.

3. На диаграмме Эйлера (рис. 2) изображены множества $A$, $B$ и $C$. Заштрихуйте множество:

1) $(A \cap B) \cup C$; 2) $(A \cap C) \setminus B$.

Рис. 2

Решение.

1.
Сначала определим элементы множеств A и B.
Множество A состоит из цифр, используемых для записи числа 5772. Это цифры 2, 5, 7. Таким образом, $A = \{2, 5, 7\}$.
Множество B состоит из цифр, используемых для записи числа 375. Это цифры 3, 5, 7. Таким образом, $B = \{3, 5, 7\}$.

1) $A \cap B$
Пересечение множеств $A \cap B$ — это множество элементов, которые принадлежат и множеству A, и множеству B. Сравнивая множества $A = \{2, 5, 7\}$ и $B = \{3, 5, 7\}$, мы видим, что общими элементами являются 5 и 7.
Ответ: $A \cap B = \{5, 7\}$.

2) $A \cup B$
Объединение множеств $A \cup B$ — это множество, содержащее все элементы из множества A и все элементы из множества B без повторений. Объединяя элементы из $A = \{2, 5, 7\}$ и $B = \{3, 5, 7\}$, получаем множество $\{2, 3, 5, 7\}$.
Ответ: $A \cup B = \{2, 3, 5, 7\}$.

3) $A \setminus B$
Разность множеств $A \setminus B$ (читается "A без B") — это множество элементов, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству B. Из множества $A = \{2, 5, 7\}$ мы должны удалить элементы, которые также есть в B, то есть 5 и 7. Остается только элемент 2.
Ответ: $A \setminus B = \{2\}$.

2.
Сначала определим элементы множеств A и B, перечислив их.
Множество A задано условием $A = \{x \mid x \in \mathbb{Z}, -1 < x \le 5\}$, где $\mathbb{Z}$ — множество целых чисел. Целые числа, которые больше -1 и меньше или равны 5, это 0, 1, 2, 3, 4, 5. Таким образом, $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.
Множество B задано условием $B = \{x \mid x \in \mathbb{Z}, x \ge 1\}$. Это множество всех целых чисел, которые больше или равны 1. Таким образом, $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots\}$.

1) $A \cap B$
Нам нужно найти общие элементы для множеств $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ и $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots\}$. Общими являются числа 1, 2, 3, 4, 5.
Ответ: $A \cap B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.

2) $A \setminus B$
Нам нужно найти элементы, которые есть в A, но нет в B. Из множества $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ мы должны удалить все элементы, которые принадлежат B. Множество B содержит все целые числа, начиная с 1. Таким образом, мы удаляем из A числа 1, 2, 3, 4, 5. Остается только 0.
Ответ: $A \setminus B = \{0\}$.

3.

1) $(A \cap B) \cup C$
Чтобы заштриховать данное множество, нужно сначала найти пересечение множеств A и B (область, где пересекаются круги A и B), а затем объединить эту область со всем множеством C (весь круг C). В результате будет заштрихована вся область круга C, а также та часть пересечения кругов A и B, которая находится вне круга C.
Ответ: Заштрихованная область показана на диаграмме ниже.

2) $(A \cap C) \setminus B$
Чтобы заштриховать данное множество, нужно сначала найти пересечение множеств A и C (область, где пересекаются круги A и C), а затем из этой области исключить (вычесть) всё, что принадлежит множеству B. В результате будет заштрихована только та часть пересечения A и C, которая не пересекается с B.
Ответ: Заштрихованная область показана на диаграмме ниже.