Номер 36, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Самостоятельные и контрольные работы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2015 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: красный
ISBN: 978-5-360-08298-9
Популярные ГДЗ в 8 классе
Вариант 1. Самостоятельные работы - номер 36, страница 22.
№36 (с. 22)
Условие. №36 (с. 22)
скриншот условия

Самостоятельная работа № 36
Квадратный трёхчлен
1. Разложите на множители квадратный трёхчлен:
1) $-b^2 + 2b + 24;$
2) $6x^2 - x - 2.$
2. Сократите дробь:
1) $\frac{x^2 - x - 6}{x - 3};$
2) $\frac{36a^2 - 12a + 1}{6a^2 + 11a - 2}.$
3. Упростите выражение
$ \frac{3y^2 - 12}{2y^2 - 15y + 18} \cdot \frac{6 - y}{y + 2} + \frac{y}{3 - 2y} $
4. Решите неравенство:
1) $3x^2 - 8x + 11 < 0;$
2) $(\sqrt{x} - 1)(x^2 - 5x + 16) \ge 0.$
5. При каком значении параметра $a$ разложение на линейные множители трёхчлена $-4x^2 + ax + 9$ содержит множитель $x + 3?$
6. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых $(x; y)$ удовлетворяют равенству $10x^2 - 7xy + y^2 = 0.$
Решение. №36 (с. 22)
1.
1) Чтобы разложить на множители квадратный трёхчлен $-b^2 + 2b + 24$, найдём корни соответствующего уравнения $-b^2 + 2b + 24 = 0$.
Умножим обе части на $-1$: $b^2 - 2b - 24 = 0$.
Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$.
Корни уравнения: $b_1 = \frac{2 + \sqrt{100}}{2} = \frac{2+10}{2} = 6$; $b_2 = \frac{2 - \sqrt{100}}{2} = \frac{2-10}{2} = -4$.
Разложение имеет вид $a(b-b_1)(b-b_2)$, где $a=-1$.
$-b^2 + 2b + 24 = -1(b-6)(b-(-4)) = -(b-6)(b+4)$.
Ответ: $-(b-6)(b+4)$.
2) Чтобы разложить на множители квадратный трёхчлен $6x^2 - x - 2$, найдём корни уравнения $6x^2 - x - 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{1+7}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$; $x_2 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{1-7}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$.
Разложение: $6(x-\frac{2}{3})(x-(-\frac{1}{2})) = 6(x-\frac{2}{3})(x+\frac{1}{2}) = 3 \cdot (x-\frac{2}{3}) \cdot 2 \cdot (x+\frac{1}{2}) = (3x-2)(2x+1)$.
Ответ: $(3x-2)(2x+1)$.
2.
1) $\frac{x^2 - x - 6}{x - 3}$
Разложим числитель $x^2 - x - 6$ на множители. Корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$ по теореме Виета равны $3$ и $-2$.
Значит, $x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$.
$\frac{(x-3)(x+2)}{x - 3} = x+2$ (при $x \ne 3$).
Ответ: $x+2$.
2) $\frac{36a^2 - 12a + 1}{6a^2 + 11a - 2}$
Числитель является полным квадратом: $36a^2 - 12a + 1 = (6a-1)^2$.
Разложим на множители знаменатель $6a^2 + 11a - 2$. Корни уравнения $6a^2 + 11a - 2 = 0$ равны $a_1 = \frac{1}{6}$ и $a_2 = -2$.
Значит, $6a^2 + 11a - 2 = 6(a-\frac{1}{6})(a+2) = (6a-1)(a+2)$.
$\frac{(6a-1)^2}{(6a-1)(a+2)} = \frac{6a-1}{a+2}$ (при $a \ne \frac{1}{6}$).
Ответ: $\frac{6a-1}{a+2}$.
3.
Упростим выражение $\frac{3y^2 - 12}{2y^2 - 15y + 18} \cdot \frac{6-y}{y+2} + \frac{y}{3-2y}$.
Сначала выполним умножение. Разложим числители и знаменатели на множители.
$3y^2 - 12 = 3(y^2 - 4) = 3(y-2)(y+2)$.
$2y^2 - 15y + 18 = (y-6)(2y-3)$ (корни $6$ и $3/2$).
$6-y = -(y-6)$.
$\frac{3(y-2)(y+2)}{(y-6)(2y-3)} \cdot \frac{-(y-6)}{y+2} = \frac{-3(y-2)}{2y-3}$.
Теперь выполним сложение:
$\frac{-3(y-2)}{2y-3} + \frac{y}{3-2y} = \frac{-3y+6}{2y-3} + \frac{y}{-(2y-3)} = \frac{-3y+6}{2y-3} - \frac{y}{2y-3} = \frac{-3y+6-y}{2y-3} = \frac{-4y+6}{2y-3} = \frac{-2(2y-3)}{2y-3} = -2$.
Ответ: $-2$.
4.
1) $3x^2 - 8x + 11 < 0$
Рассмотрим параболу $y=3x^2 - 8x + 11$. Коэффициент при $x^2$ равен $3$, он положителен, значит, ветви параболы направлены вверх.
Найдём дискриминант уравнения $3x^2 - 8x + 11 = 0$: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 11 = 64 - 132 = -68$.
Поскольку $D<0$, у уравнения нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox. Так как ветви направлены вверх, парабола полностью расположена выше оси Ox, то есть $3x^2 - 8x + 11 > 0$ при любом $x$.
Следовательно, неравенство $3x^2 - 8x + 11 < 0$ не имеет решений.
Ответ: нет решений.
2) $(\sqrt{x}-1)(x^2 - 5x + 16) \ge 0$
Область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства: $x \ge 0$.
Рассмотрим второй множитель $x^2 - 5x + 16$. Дискриминант уравнения $x^2 - 5x + 16=0$ равен $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 25 - 64 = -39$.
Так как $D<0$ и старший коэффициент $1 > 0$, трёхчлен $x^2 - 5x + 16$ всегда положителен.
Поэтому исходное неравенство равносильно неравенству $\sqrt{x}-1 \ge 0$.
$\sqrt{x} \ge 1$.
Возводя обе части в квадрат, получаем $x \ge 1$.
Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).
Ответ: $[1; +\infty)$.
5.
Если разложение трёхчлена $-4x^2 + ax + 9$ содержит множитель $(x+3)$, то $x=-3$ является корнем этого трёхчлена. Подставим $x=-3$ в трёхчлен и приравняем к нулю:
$-4(-3)^2 + a(-3) + 9 = 0$
$-4 \cdot 9 - 3a + 9 = 0$
$-36 - 3a + 9 = 0$
$-27 - 3a = 0$
$3a = -27$
$a = -9$
Ответ: $a=-9$.
6.
Рассмотрим уравнение $10x^2 - 7xy + y^2 = 0$ как квадратное относительно $y$: $y^2 - (7x)y + 10x^2 = 0$.
Решим его, используя формулу корней квадратного уравнения:
$D = (-7x)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (10x^2) = 49x^2 - 40x^2 = 9x^2 = (3x)^2$.
$y = \frac{7x \pm \sqrt{(3x)^2}}{2} = \frac{7x \pm 3x}{2}$.
Получаем два решения:
$y_1 = \frac{7x+3x}{2} = \frac{10x}{2} = 5x$.
$y_2 = \frac{7x-3x}{2} = \frac{4x}{2} = 2x$.
Исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $y=2x$ или $y=5x$.
Графиком каждого из этих уравнений является прямая, проходящая через начало координат. Таким образом, множество искомых точек — это пара прямых, пересекающихся в точке $(0;0)$.
Ответ: Множество точек представляет собой две прямые, заданные уравнениями $y=2x$ и $y=5x$, которые пересекаются в начале координат.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 36 расположенного на странице 22 к самостоятельным и контрольным работам серии алгоритм успеха 2015 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №36 (с. 22), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.