Номер 36, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 36, страница 22.

Условие.

Самостоятельная работа № 36

Квадратный трёхчлен

1. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

1) $-b^2 + 2b + 24;$

2) $6x^2 - x - 2.$

2. Сократите дробь:

1) $\frac{x^2 - x - 6}{x - 3};$

2) $\frac{36a^2 - 12a + 1}{6a^2 + 11a - 2}.$

3. Упростите выражение

$ \frac{3y^2 - 12}{2y^2 - 15y + 18} \cdot \frac{6 - y}{y + 2} + \frac{y}{3 - 2y} $

4. Решите неравенство:

1) $3x^2 - 8x + 11 < 0;$

2) $(\sqrt{x} - 1)(x^2 - 5x + 16) \ge 0.$

5. При каком значении параметра $a$ разложение на линейные множители трёхчлена $-4x^2 + ax + 9$ содержит множитель $x + 3?$

6. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых $(x; y)$ удовлетворяют равенству $10x^2 - 7xy + y^2 = 0.$

Решение.

1.

1) Чтобы разложить на множители квадратный трёхчлен $-b^2 + 2b + 24$, найдём корни соответствующего уравнения $-b^2 + 2b + 24 = 0$.

Умножим обе части на $-1$: $b^2 - 2b - 24 = 0$.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$.

Корни уравнения: $b_1 = \frac{2 + \sqrt{100}}{2} = \frac{2+10}{2} = 6$; $b_2 = \frac{2 - \sqrt{100}}{2} = \frac{2-10}{2} = -4$.

Разложение имеет вид $a(b-b_1)(b-b_2)$, где $a=-1$.

$-b^2 + 2b + 24 = -1(b-6)(b-(-4)) = -(b-6)(b+4)$.

Ответ: $-(b-6)(b+4)$.

2) Чтобы разложить на множители квадратный трёхчлен $6x^2 - x - 2$, найдём корни уравнения $6x^2 - x - 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{1+7}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$; $x_2 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{1-7}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$.

Разложение: $6(x-\frac{2}{3})(x-(-\frac{1}{2})) = 6(x-\frac{2}{3})(x+\frac{1}{2}) = 3 \cdot (x-\frac{2}{3}) \cdot 2 \cdot (x+\frac{1}{2}) = (3x-2)(2x+1)$.

Ответ: $(3x-2)(2x+1)$.

2.

1) $\frac{x^2 - x - 6}{x - 3}$

Разложим числитель $x^2 - x - 6$ на множители. Корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$ по теореме Виета равны $3$ и $-2$.

Значит, $x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$.

$\frac{(x-3)(x+2)}{x - 3} = x+2$ (при $x \ne 3$).

Ответ: $x+2$.

2) $\frac{36a^2 - 12a + 1}{6a^2 + 11a - 2}$

Числитель является полным квадратом: $36a^2 - 12a + 1 = (6a-1)^2$.

Разложим на множители знаменатель $6a^2 + 11a - 2$. Корни уравнения $6a^2 + 11a - 2 = 0$ равны $a_1 = \frac{1}{6}$ и $a_2 = -2$.

Значит, $6a^2 + 11a - 2 = 6(a-\frac{1}{6})(a+2) = (6a-1)(a+2)$.

$\frac{(6a-1)^2}{(6a-1)(a+2)} = \frac{6a-1}{a+2}$ (при $a \ne \frac{1}{6}$).

Ответ: $\frac{6a-1}{a+2}$.

3.

Упростим выражение $\frac{3y^2 - 12}{2y^2 - 15y + 18} \cdot \frac{6-y}{y+2} + \frac{y}{3-2y}$.

Сначала выполним умножение. Разложим числители и знаменатели на множители.

$3y^2 - 12 = 3(y^2 - 4) = 3(y-2)(y+2)$.

$2y^2 - 15y + 18 = (y-6)(2y-3)$ (корни $6$ и $3/2$).

$6-y = -(y-6)$.

$\frac{3(y-2)(y+2)}{(y-6)(2y-3)} \cdot \frac{-(y-6)}{y+2} = \frac{-3(y-2)}{2y-3}$.

Теперь выполним сложение:

$\frac{-3(y-2)}{2y-3} + \frac{y}{3-2y} = \frac{-3y+6}{2y-3} + \frac{y}{-(2y-3)} = \frac{-3y+6}{2y-3} - \frac{y}{2y-3} = \frac{-3y+6-y}{2y-3} = \frac{-4y+6}{2y-3} = \frac{-2(2y-3)}{2y-3} = -2$.

Ответ: $-2$.

4.

1) $3x^2 - 8x + 11 < 0$

Рассмотрим параболу $y=3x^2 - 8x + 11$. Коэффициент при $x^2$ равен $3$, он положителен, значит, ветви параболы направлены вверх.

Найдём дискриминант уравнения $3x^2 - 8x + 11 = 0$: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 11 = 64 - 132 = -68$.

Поскольку $D<0$, у уравнения нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox. Так как ветви направлены вверх, парабола полностью расположена выше оси Ox, то есть $3x^2 - 8x + 11 > 0$ при любом $x$.

Следовательно, неравенство $3x^2 - 8x + 11 < 0$ не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2) $(\sqrt{x}-1)(x^2 - 5x + 16) \ge 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства: $x \ge 0$.

Рассмотрим второй множитель $x^2 - 5x + 16$. Дискриминант уравнения $x^2 - 5x + 16=0$ равен $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 25 - 64 = -39$.

Так как $D<0$ и старший коэффициент $1 > 0$, трёхчлен $x^2 - 5x + 16$ всегда положителен.

Поэтому исходное неравенство равносильно неравенству $\sqrt{x}-1 \ge 0$.

$\sqrt{x} \ge 1$.

Возводя обе части в квадрат, получаем $x \ge 1$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $[1; +\infty)$.

5.

Если разложение трёхчлена $-4x^2 + ax + 9$ содержит множитель $(x+3)$, то $x=-3$ является корнем этого трёхчлена. Подставим $x=-3$ в трёхчлен и приравняем к нулю:

$-4(-3)^2 + a(-3) + 9 = 0$

$-4 \cdot 9 - 3a + 9 = 0$

$-36 - 3a + 9 = 0$

$-27 - 3a = 0$

$3a = -27$

$a = -9$

Ответ: $a=-9$.

6.

Рассмотрим уравнение $10x^2 - 7xy + y^2 = 0$ как квадратное относительно $y$: $y^2 - (7x)y + 10x^2 = 0$.

Решим его, используя формулу корней квадратного уравнения:

$D = (-7x)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (10x^2) = 49x^2 - 40x^2 = 9x^2 = (3x)^2$.

$y = \frac{7x \pm \sqrt{(3x)^2}}{2} = \frac{7x \pm 3x}{2}$.

Получаем два решения:

$y_1 = \frac{7x+3x}{2} = \frac{10x}{2} = 5x$.

$y_2 = \frac{7x-3x}{2} = \frac{4x}{2} = 2x$.

Исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $y=2x$ или $y=5x$.

Графиком каждого из этих уравнений является прямая, проходящая через начало координат. Таким образом, множество искомых точек — это пара прямых, пересекающихся в точке $(0;0)$.

Ответ: Множество точек представляет собой две прямые, заданные уравнениями $y=2x$ и $y=5x$, которые пересекаются в начале координат.