Номер 31, страница 19 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Самостоятельные работы - номер 31, страница 19.

Условие.

Самостоятельная работа № 31

Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни

1. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{7b^2}$, если $b \le 0$;

2) $\sqrt{-a^7}$;

3) $\sqrt{x^4y^{11}}$, если $x \ne 0$;

4) $\sqrt{500a^7b^{14}}$, если $b < 0$.

2. Внесите множитель под знак корня:

1) $a\sqrt{11}$;

2) $a^5\sqrt{-a}$;

3) $(a-3)\sqrt{\frac{1}{9-3a}}$.

3. Упростите выражение:

1) $\frac{a+b}{\sqrt{ab}-b} - \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}};$

2) $\left(\frac{\sqrt{a}-5}{\sqrt{a}+5} + \frac{20\sqrt{a}}{a-25}\right) : \frac{\sqrt{a}+5}{a-5\sqrt{a}}$.

4. Известно, что $\sqrt{8+a+\sqrt{3-a}} = 4$. Найдите значение выражения $\sqrt{(8+a)(3-a)}$.

5. Упростите выражение:

1) $\sqrt{27+10\sqrt{2}}$;

2) $\sqrt{a+10\sqrt{a}-25}$.

Решение.

1. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{7b^2}$, если $b \le 0$
Используем свойство $\sqrt{x^2}=|x|$. Получаем $\sqrt{7b^2} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{b^2} = \sqrt{7} \cdot |b|$.
Поскольку по условию $b \le 0$, то $|b| = -b$.
Следовательно, $\sqrt{7b^2} = \sqrt{7} \cdot (-b) = -b\sqrt{7}$.
Ответ: $-b\sqrt{7}$.

2) $\sqrt{-a^7}$
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-a^7 \ge 0$, что означает $a^7 \le 0$, и следовательно $a \le 0$.
Представим $a^7$ как $a^6 \cdot a$. Тогда $\sqrt{-a^7} = \sqrt{-a^6 \cdot a} = \sqrt{a^6 \cdot (-a)}$.
Так как $a \le 0$, выражение $-a$ неотрицательно.
$\sqrt{a^6 \cdot (-a)} = \sqrt{(a^3)^2} \cdot \sqrt{-a} = |a^3|\sqrt{-a}$.
Поскольку $a \le 0$, то $a^3 \le 0$, и $|a^3| = -a^3$.
Результат: $-a^3\sqrt{-a}$.
Ответ: $-a^3\sqrt{-a}$.

3) $\sqrt{x^4y^{11}}$, если $x \ne 0$
Для существования корня необходимо, чтобы $x^4y^{11} \ge 0$. Так как $x^4 \ge 0$ при любом $x$, то должно выполняться $y^{11} \ge 0$, откуда $y \ge 0$.
$\sqrt{x^4y^{11}} = \sqrt{x^4 \cdot y^{10} \cdot y} = \sqrt{(x^2)^2 \cdot (y^5)^2 \cdot y} = |x^2| \cdot |y^5| \cdot \sqrt{y}$.
Поскольку $x^2 \ge 0$, то $|x^2|=x^2$. Поскольку $y \ge 0$, то $y^5 \ge 0$, и $|y^5|=y^5$.
Получаем $x^2y^5\sqrt{y}$.
Ответ: $x^2y^5\sqrt{y}$.

4) $\sqrt{500a^7b^{14}}$, если $b < 0$
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $500a^7b^{14} \ge 0$. Так как $500>0$ и $b^{14}>0$ (поскольку $b<0$), то $a^7 \ge 0$, откуда $a \ge 0$.
$\sqrt{500a^7b^{14}} = \sqrt{100 \cdot 5 \cdot a^6 \cdot a \cdot b^{14}} = \sqrt{10^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^7)^2 \cdot 5a}$.
Выносим множители: $10 \cdot |a^3| \cdot |b^7| \cdot \sqrt{5a}$.
Так как $a \ge 0$, то $a^3 \ge 0$ и $|a^3|=a^3$.
Так как $b < 0$, то $b^7 < 0$ и $|b^7|=-b^7$.
Результат: $10 \cdot a^3 \cdot (-b^7) \cdot \sqrt{5a} = -10a^3b^7\sqrt{5a}$.
Ответ: $-10a^3b^7\sqrt{5a}$.

2. Внесите множитель под знак корня:

1) $a\sqrt{11}$
Знак выражения зависит от знака $a$. Рассмотрим два случая:
- Если $a \ge 0$, то $a = \sqrt{a^2}$. Тогда $a\sqrt{11} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{11} = \sqrt{11a^2}$.
- Если $a < 0$, то $a = -|a| = -\sqrt{a^2}$. Тогда $a\sqrt{11} = -\sqrt{a^2} \cdot \sqrt{11} = -\sqrt{11a^2}$.
Ответ: $\sqrt{11a^2}$, если $a \ge 0$; $-\sqrt{11a^2}$, если $a < 0$.

2) $a^5\sqrt{-a}$
Область определения: $-a \ge 0 \implies a \le 0$.
Если $a=0$, выражение равно 0. Если $a < 0$, то $a^5$ будет отрицательным числом.
Выражение $a^5\sqrt{-a}$ отрицательно. Чтобы внести множитель, представим его в виде $-(-a^5)\sqrt{-a}$.
Так как $a < 0$, то $-a^5 > 0$. Вносим положительный множитель $-a^5$ под корень:
$-\sqrt{(-a^5)^2 \cdot (-a)} = -\sqrt{a^{10} \cdot (-a)} = -\sqrt{-a^{11}}$.
Ответ: $-\sqrt{-a^{11}}$.

3) $(a-3)\sqrt{\frac{1}{9-3a}}$
Область определения: $9-3a > 0 \implies 3a < 9 \implies a < 3$.
При $a < 3$ множитель $(a-3)$ является отрицательным.
Представим его как $-(3-a)$. Так как $a < 3$, выражение $(3-a)$ положительно.
Получаем: $-(3-a)\sqrt{\frac{1}{9-3a}} = -(3-a)\sqrt{\frac{1}{3(3-a)}}$.
Вносим положительный множитель $(3-a)$ под корень:
$-\sqrt{(3-a)^2 \cdot \frac{1}{3(3-a)}} = -\sqrt{\frac{(3-a)^2}{3(3-a)}} = -\sqrt{\frac{3-a}{3}}$.
Ответ: $-\sqrt{\frac{3-a}{3}}$.

3. Упростите выражение:

1) $\frac{a+b}{\sqrt{ab}-b} - \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$
Область определения: $a > 0, b > 0, a \ne b$.
Преобразуем знаменатель первой дроби: $\sqrt{ab}-b = \sqrt{b}\sqrt{a} - (\sqrt{b})^2 = \sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$.
Приведем дроби к общему знаменателю $\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$:
$\frac{a+b}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} - \frac{2\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{a+b - 2\sqrt{ab}}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$.
Числитель является полным квадратом: $a-2\sqrt{ab}+b = (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$.
Подставляем и сокращаем дробь:
$\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{b}}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{b}}$.

2) $(\frac{\sqrt{a}-5}{\sqrt{a}+5} + \frac{20\sqrt{a}}{a-25}) : \frac{\sqrt{a}+5}{a-5\sqrt{a}}$
Область определения: $a > 0, a \ne 25$.
Сначала упростим выражение в скобках. Разложим $a-25 = (\sqrt{a}-5)(\sqrt{a}+5)$ и приведем к общему знаменателю:
$\frac{(\sqrt{a}-5)(\sqrt{a}-5)}{(\sqrt{a}+5)(\sqrt{a}-5)} + \frac{20\sqrt{a}}{(\sqrt{a}-5)(\sqrt{a}+5)} = \frac{(\sqrt{a}-5)^2 + 20\sqrt{a}}{a-25} = \frac{a-10\sqrt{a}+25+20\sqrt{a}}{a-25} = \frac{a+10\sqrt{a}+25}{a-25}$.
Числитель является полным квадратом $(\sqrt{a}+5)^2$.
Выражение в скобках равно $\frac{(\sqrt{a}+5)^2}{(\sqrt{a}-5)(\sqrt{a}+5)} = \frac{\sqrt{a}+5}{\sqrt{a}-5}$.
Теперь выполним деление. Заменим деление на умножение на обратную дробь и разложим на множители $a-5\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a}-5)$:
$\frac{\sqrt{a}+5}{\sqrt{a}-5} \cdot \frac{a-5\sqrt{a}}{\sqrt{a}+5} = \frac{\sqrt{a}+5}{\sqrt{a}-5} \cdot \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-5)}{\sqrt{a}+5}$.
Сокращаем одинаковые множители $(\sqrt{a}+5)$ и $(\sqrt{a}-5)$:
Остается $\sqrt{a}$.
Ответ: $\sqrt{a}$.

4. Известно, что $\sqrt{8+a} + \sqrt{3-a} = 4$. Найдите значение выражения $\sqrt{(8+a)(3-a)}$.

Возведем обе части данного уравнения в квадрат:
$(\sqrt{8+a} + \sqrt{3-a})^2 = 4^2$
$(\sqrt{8+a})^2 + 2\sqrt{8+a}\sqrt{3-a} + (\sqrt{3-a})^2 = 16$
$8+a + 2\sqrt{(8+a)(3-a)} + 3-a = 16$
Приведем подобные слагаемые:
$11 + 2\sqrt{(8+a)(3-a)} = 16$
Выразим искомое выражение:
$2\sqrt{(8+a)(3-a)} = 16 - 11$
$2\sqrt{(8+a)(3-a)} = 5$
$\sqrt{(8+a)(3-a)} = \frac{5}{2} = 2.5$.
Ответ: $2.5$.

5. Упростите выражение:

1) $\sqrt{27+10\sqrt{2}}$
Представим выражение под корнем в виде полного квадрата $(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$.
Для этого преобразуем $10\sqrt{2}$ к виду $2\sqrt{N}$: $10\sqrt{2} = 2 \cdot 5\sqrt{2} = 2\sqrt{25 \cdot 2} = 2\sqrt{50}$.
Получаем $\sqrt{27+2\sqrt{50}}$.
Ищем два числа, сумма которых равна 27, а произведение равно 50. Это числа 25 и 2.
Следовательно, $27+2\sqrt{50} = 25 + 2 + 2\sqrt{25 \cdot 2} = (\sqrt{25})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{25}\sqrt{2} = (5+\sqrt{2})^2$.
Тогда $\sqrt{27+10\sqrt{2}} = \sqrt{(5+\sqrt{2})^2} = 5+\sqrt{2}$.
Ответ: $5+\sqrt{2}$.

2) $\sqrt{a+10\sqrt{a-25}}$
Выделим полный квадрат. Область определения: $a-25 \ge 0 \implies a \ge 25$.
Представим $10\sqrt{a-25}$ как $2 \cdot 5\sqrt{a-25}$.
Подкоренное выражение можно представить как сумму квадратов и удвоенного произведения. Попробуем слагаемые $5$ и $\sqrt{a-25}$.
Сумма их квадратов: $5^2 + (\sqrt{a-25})^2 = 25 + (a-25) = a$.
Их удвоенное произведение: $2 \cdot 5 \cdot \sqrt{a-25} = 10\sqrt{a-25}$.
Таким образом, подкоренное выражение является полным квадратом:
$a+10\sqrt{a-25} = 5^2 + (\sqrt{a-25})^2 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{a-25} = (5+\sqrt{a-25})^2$.
Тогда $\sqrt{a+10\sqrt{a-25}} = \sqrt{(5+\sqrt{a-25})^2} = |5+\sqrt{a-25}|$.
Так как корень $\sqrt{a-25}$ неотрицателен, вся сумма $5+\sqrt{a-25}$ положительна.
Результат: $5+\sqrt{a-25}$.
Ответ: $5+\sqrt{a-25}$.