Номер 27, страница 17 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Самостоятельные работы - номер 27, страница 17.

Условие.

Самостоятельная работа № 27

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень

1. Найдите значение выражения:

1) $5\sqrt{0.64} - \sqrt{5^2} + 12^2$;

2) $18 \cdot \left(-\frac{1}{3}\sqrt{5}\right)^2 - \frac{1}{6} \cdot (4\sqrt{3})^2$.

2. Решите уравнение:

1) $\frac{1}{3}\sqrt{x} + 4 = 0$;

2) $\sqrt{6x - 3} = 0$;

3) $\frac{10}{\sqrt{x - 4}} = 5$;

4) $(x - 4)^2 = 6$.

3. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{x + 3} + \sqrt{5 - x}$;

2) $y = \sqrt{|x| - 3} + \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$.

4. Постройте график функции:

$y = (\sqrt{x + 4})^2 - 4$.

5. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x}(x - 5) < 0$;

2) $\sqrt{x}(x - 5) \ge 0$.

6. При каких значениях параметра $a$ уравнение

$(x - 4)(\sqrt{x} - a) = 0$ имеет два корня?

Решение.

1) $5\sqrt{0,64} - \sqrt{5^2 + 12^2} = 5 \cdot 0,8 - \sqrt{25 + 144} = 4 - \sqrt{169} = 4 - 13 = -9$.
Ответ: -9

2) $18 \cdot (-\frac{1}{3}\sqrt{5})^2 - \frac{1}{6} \cdot (4\sqrt{3})^2 = 18 \cdot (\frac{1}{9} \cdot (\sqrt{5})^2) - \frac{1}{6} \cdot (4^2 \cdot (\sqrt{3})^2) = 18 \cdot \frac{5}{9} - \frac{1}{6} \cdot (16 \cdot 3) = 2 \cdot 5 - \frac{48}{6} = 10 - 8 = 2$.
Ответ: 2

1) $\frac{1}{3}\sqrt{x} + 4 = 0$
Перенесем 4 в правую часть: $\frac{1}{3}\sqrt{x} = -4$.
Умножим обе части на 3: $\sqrt{x} = -12$.
Арифметический квадратный корень не может быть отрицательным числом, следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: нет корней

2) $\sqrt{6x} - 3 = 0$
Область допустимых значений (ОДЗ): $6x \ge 0 \Rightarrow x \ge 0$.
Перенесем 3 в правую часть: $\sqrt{6x} = 3$.
Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{6x})^2 = 3^2$.
$6x = 9$.
$x = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1,5$.
Корень $x=1,5$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 1,5

3) $\frac{10}{\sqrt{x} - 4} = 5$
ОДЗ: $x \ge 0$ и знаменатель не равен нулю $\sqrt{x} - 4 \neq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \neq 4 \Rightarrow x \neq 16$.
Умножим обе части на $(\sqrt{x} - 4)$: $10 = 5(\sqrt{x} - 4)$.
Разделим обе части на 5: $2 = \sqrt{x} - 4$.
$\sqrt{x} = 2 + 4 = 6$.
Возведем обе части в квадрат: $x = 6^2 = 36$.
Корень $x=36$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 36

4) $(x - 4)^2 = 6$
Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x - 4 = \sqrt{6}$ или $x - 4 = -\sqrt{6}$.
Получаем два корня:
$x_1 = 4 + \sqrt{6}$
$x_2 = 4 - \sqrt{6}$
Ответ: $4 + \sqrt{6}; 4 - \sqrt{6}$

1) $y = \sqrt{x+3} + \sqrt{5-x}$
Область определения функции находится из условия, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:
$\begin{cases} x+3 \ge 0 \\ 5-x \ge 0 \end{cases}$
Решая систему, получаем:
$\begin{cases} x \ge -3 \\ x \le 5 \end{cases}$
Таким образом, область определения функции — это все значения $x$, удовлетворяющие условию $-3 \le x \le 5$.
Ответ: $[-3; 5]$

2) $y = \sqrt{|x| - 3} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2}$
Область определения функции задается системой из трех условий:
1. Выражение под первым корнем неотрицательно: $|x| - 3 \ge 0 \Rightarrow |x| \ge 3$. Это неравенство равносильно совокупности $x \le -3$ или $x \ge 3$.
2. Выражение под вторым корнем неотрицательно: $x \ge 0$.
3. Знаменатель не равен нулю: $\sqrt{x} - 2 \neq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \neq 2 \Rightarrow x \neq 4$.
Найдем пересечение этих условий. Из условий 1 и 2 следует, что $x \ge 3$. Добавляя условие 3, получаем, что $x \ge 3$ и $x \neq 4$.
Ответ: $[3; 4) \cup (4; \infty)$

4. Для построения графика функции $y = (\sqrt{x+4})^2 - 4$ выполним следующие шаги:
1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+4 \ge 0$, откуда $x \ge -4$.
2. На области определения $x \ge -4$ справедливо тождество $(\sqrt{x+4})^2 = x+4$. Тогда функция принимает вид $y = (x+4) - 4 = x$.
3. Таким образом, график функции — это часть прямой $y=x$ при условии $x \ge -4$. Геометрически это луч, выходящий из точки, где $x=-4$.
4. Найдем координаты начальной точки луча: при $x=-4$, $y = -4$. Точка $(-4, -4)$ принадлежит графику. Для построения луча можно взять еще одну точку, например, при $x=0, y=0$.
Ответ: Графиком функции является луч с началом в точке $(-4, -4)$, который является частью прямой $y=x$.

1) $\sqrt{x}(x-5) < 0$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Так как $\sqrt{x} \ge 0$ при всех $x$ из ОДЗ, то для выполнения строгого неравенства необходимо, чтобы оба множителя были отличны от нуля, и один из них был отрицательным. Множитель $\sqrt{x}$ не может быть отрицательным, значит он должен быть строго положительным, а второй множитель — строго отрицательным.
$\begin{cases} \sqrt{x} > 0 \\ x-5 < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x < 5 \end{cases}$
Решением системы является интервал $0 < x < 5$.
Ответ: $(0; 5)$

2) $\sqrt{x}(x-5) \ge 0$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Неравенство выполняется, если один из множителей равен нулю или если оба множителя имеют одинаковый знак. Так как $\sqrt{x}$ не может быть отрицательным, то оба множителя должны быть неотрицательными.
Случай 1: Произведение равно нулю.$\sqrt{x} = 0 \Rightarrow x=0$.$x-5=0 \Rightarrow x=5$. Точки $x=0$ и $x=5$ являются решениями.
Случай 2: Произведение больше нуля ($\sqrt{x}(x-5) > 0$). Поскольку $\sqrt{x}>0$ при $x>0$, неравенство сводится к $x-5 > 0$, откуда $x > 5$.
Объединяя все найденные решения, получаем $x=0$ и $x \ge 5$.
Ответ: $\{0\} \cup [5; \infty)$

6. $(x-4)(\sqrt{x}-a) = 0$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $x-4=0 \Rightarrow x_1=4$. Этот корень существует при любом $a$ и удовлетворяет ОДЗ.
2) $\sqrt{x}-a=0 \Rightarrow \sqrt{x}=a$.
Это второе уравнение имеет решение только при $a \ge 0$. Если $a<0$, то решений нет, и исходное уравнение имеет только один корень $x=4$.
Если $a \ge 0$, то $x_2 = a^2$. Этот корень также всегда удовлетворяет ОДЗ.
Чтобы исходное уравнение имело два различных корня, необходимо выполнение двух условий:
а) Второй корень должен существовать, то есть $a \ge 0$.
б) Корни должны быть различны: $x_1 \neq x_2$, то есть $4 \neq a^2$. Отсюда $a \neq 2$ и $a \neq -2$.
Совмещая условия $a \ge 0$ и $a \neq 2$ (условие $a \neq -2$ выполняется автоматически при $a \ge 0$), получаем искомые значения параметра $a$.
Ответ: $a \in [0; 2) \cup (2; \infty)$