Номер 22, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 22, страница 14.

Условие.

Самостоятельная работа № 22

Сложение и умножение числовых неравенств.

Оценивание значения выражения

1. Верно ли утверждение:

1) если $a > 3$ и $b > 10$, то $a - b > -7$;

2) если $a > 3$ и $b > 10$, то $ab > 28$;

3) если $a > 3$ и $b > 10$, то $2a + 4b > 46$;

4) если $a < 3$ и $b < 10$, то $ab < 30$;

5) если $a > 3$, то $a^2 > 9$;

6) если $a < 3$, то $\frac{1}{a} > \frac{1}{3}$?

2. Дано: $-4 < a < 3$. Оцените значение выражения:

1) $a - 7$;

2) $-2a$;

3) $2a - 6$;

4) $5 - 3a$.

3. Дано: $4 < a < 7$ и $3 < b < 5$. Оцените значение выражения:

1) $ab$;

2) $2a - 5b$;

3) $\frac{4b}{9a}$.

4. Оцените значение $x$, если:

1) $3x + |y| = 12$;

2) $2|x| + y^2 = 8$.

Решение.

1. Верно ли утверждение:

1) Утверждение "если $a > 3$ и $b > 10$, то $a - b > -7$" неверно. Приведем контрпример. Пусть $a = 4$ и $b = 12$. Условия $a > 3$ (т.к. $4 > 3$) и $b > 10$ (т.к. $12 > 10$) выполняются. Вычислим значение выражения $a - b$: $a - b = 4 - 12 = -8$. Сравним результат с $-7$: неравенство $-8 > -7$ является ложным. Так как мы нашли случай, когда условия выполняются, а заключение – нет, исходное утверждение неверно. Ответ: неверно.

2) Утверждение "если $a > 3$ и $b > 10$, то $ab > 28$" верно. Так как $a > 3$ и $b > 10$, оба числа $a$ и $b$ положительные. Для неравенств с положительными частями можно выполнить почленное умножение: $a \cdot b > 3 \cdot 10$, что дает $ab > 30$. Поскольку $30 > 28$, то из того, что $ab > 30$, следует, что $ab > 28$. Ответ: верно.

3) Утверждение "если $a > 3$ и $b > 10$, то $2a + 4b > 46$" верно. Умножим неравенство $a > 3$ на положительное число 2, получим $2a > 6$. Умножим неравенство $b > 10$ на положительное число 4, получим $4b > 40$. Сложим полученные неравенства одинакового знака: $2a + 4b > 6 + 40$, что дает $2a + 4b > 46$. Ответ: верно.

4) Утверждение "если $a < 3$ и $b < 10$, то $ab < 30$" неверно. Правило умножения неравенств применимо только в случае, если все части неравенств положительны. В данном случае $a$ и $b$ могут быть отрицательными. Приведем контрпример: пусть $a = -10$ и $b = -5$. Условия $a < 3$ ($-10 < 3$) и $b < 10$ ($-5 < 10$) выполняются. Однако, их произведение $ab = (-10) \cdot (-5) = 50$. Неравенство $50 < 30$ является ложным. Ответ: неверно.

5) Утверждение "если $a > 3$, то $a^2 > 9$" верно. Так как $a > 3$, то $a$ — положительное число. Можно возвести в квадрат обе части неравенства, сохранив знак, так как обе части положительны: $a^2 > 3^2$, что равносильно $a^2 > 9$. Ответ: верно.

6) Утверждение "если $a < 3$, то $\frac{1}{a} > \frac{1}{3}$" неверно. Правило обращения неравенств (смена знака) работает, когда обе части имеют одинаковый знак. В условии $a < 3$ число $a$ может быть отрицательным. Например, пусть $a = -1$. Условие $-1 < 3$ выполняется. Тогда $\frac{1}{a} = \frac{1}{-1} = -1$. Неравенство $-1 > \frac{1}{3}$ является ложным, так как отрицательное число не может быть больше положительного. Ответ: неверно.

2. Дано: $-4 < a < 3$. Оцените значение выражения:

1) Чтобы оценить выражение $a - 7$, вычтем число 7 из всех частей исходного двойного неравенства: $-4 - 7 < a - 7 < 3 - 7$. Выполнив вычисления, получаем: $-11 < a - 7 < -4$. Ответ: $-11 < a - 7 < -4$.

2) Чтобы оценить выражение $-2a$, умножим все части неравенства $-4 < a < 3$ на -2. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $-4 \cdot (-2) > a \cdot (-2) > 3 \cdot (-2)$, что дает $8 > -2a > -6$. Для удобства запишем неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему): $-6 < -2a < 8$. Ответ: $-6 < -2a < 8$.

3) Чтобы оценить выражение $2a - 6$, сначала умножим неравенство $-4 < a < 3$ на 2: $-4 \cdot 2 < a \cdot 2 < 3 \cdot 2$, получаем $-8 < 2a < 6$. Затем вычтем 6 из всех частей нового неравенства: $-8 - 6 < 2a - 6 < 6 - 6$, что дает $-14 < 2a - 6 < 0$. Ответ: $-14 < 2a - 6 < 0$.

4) Чтобы оценить выражение $5 - 3a$, сначала найдем оценку для $-3a$. Умножим неравенство $-4 < a < 3$ на -3, меняя знаки неравенства: $-4 \cdot (-3) > a \cdot (-3) > 3 \cdot (-3)$, что дает $12 > -3a > -9$, или $-9 < -3a < 12$. Теперь прибавим 5 ко всем частям: $-9 + 5 < -3a + 5 < 12 + 5$. Получаем: $-4 < 5 - 3a < 17$. Ответ: $-4 < 5 - 3a < 17$.

3. Дано: $4 < a < 7$ и $3 < b < 5$. Оцените значение выражения:

1) Для оценки произведения $ab$ заметим, что все части данных неравенств $4 < a < 7$ и $3 < b < 5$ положительны. Следовательно, мы можем их почленно перемножить: $4 \cdot 3 < a \cdot b < 7 \cdot 5$. Выполнив умножение, получаем: $12 < ab < 35$. Ответ: $12 < ab < 35$.

2) Для оценки выражения $2a - 5b$ найдем сначала оценки для $2a$ и $-5b$. Из $4 < a < 7$ следует $8 < 2a < 14$. Из $3 < b < 5$ следует $15 < 5b < 25$. Умножая последнее неравенство на -1, получаем $-25 < -5b < -15$. Теперь сложим неравенства $8 < 2a < 14$ и $-25 < -5b < -15$: $8 + (-25) < 2a + (-5b) < 14 + (-15)$, что дает $-17 < 2a - 5b < -1$. Ответ: $-17 < 2a - 5b < -1$.

3) Для оценки дроби $\frac{4b}{9a}$ оценим отдельно числитель и знаменатель. Из $3 < b < 5$ следует $12 < 4b < 20$. Из $4 < a < 7$ следует $36 < 9a < 63$. Так как все части неравенства для $9a$ положительны, можно найти оценку для обратной величины $\frac{1}{9a}$, поменяв знаки неравенства: $\frac{1}{63} < \frac{1}{9a} < \frac{1}{36}$. Теперь перемножим неравенства для $4b$ и $\frac{1}{9a}$ (все части положительны): $12 \cdot \frac{1}{63} < 4b \cdot \frac{1}{9a} < 20 \cdot \frac{1}{36}$. Упростив дроби $\frac{12}{63} = \frac{4}{21}$ и $\frac{20}{36} = \frac{5}{9}$, получаем окончательный результат: $\frac{4}{21} < \frac{4b}{9a} < \frac{5}{9}$. Ответ: $\frac{4}{21} < \frac{4b}{9a} < \frac{5}{9}$.

4. Оцените значение x, если:

1) Дано уравнение $3x + |y| = 12$. Значение модуля любого действительного числа неотрицательно, то есть $|y| \ge 0$. Выразим $3x$ из уравнения: $3x = 12 - |y|$. Поскольку $|y| \ge 0$, максимальное значение выражения $12 - |y|$ достигается при наименьшем значении $|y|$, то есть при $|y| = 0$. В этом случае $12 - |y| = 12$. Таким образом, $12 - |y| \le 12$. Отсюда следует, что $3x \le 12$. Разделив обе части на 3, получим $x \le 4$. Нижней границы для $x$ нет, так как $|y|$ может быть сколь угодно большим. Ответ: $x \le 4$.

2) Дано уравнение $2|x| + y^2 = 8$. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $y^2 \ge 0$. Выразим $2|x|$: $2|x| = 8 - y^2$. Так как $y^2 \ge 0$, то $8 - y^2 \le 8$. Следовательно, $2|x| \le 8$, что после деления на 2 дает $|x| \le 4$. Это неравенство равносильно двойному неравенству $-4 \le x \le 4$. Также необходимо, чтобы существовало действительное число $y$, удовлетворяющее уравнению, для этого $8 - y^2$ должно быть неотрицательным (так как $2|x| \ge 0$), что означает $y^2 \le 8$, что возможно. Таким образом, найденный диапазон для $x$ является полным. Ответ: $-4 \le x \le 4$.