Номер 18, страница 13 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 18, страница 13.

Условие.

Самостоятельная работа № 18

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел.

Взаимно простые числа

1. Используя алгоритм Евклида, найдите $\text{НОД}(2431; 1729)$.

2. Докажите, что для любого $n \in N$:

1) $\text{НОД}(n; 3n + 1) = 1$;

2) $\text{НОД}(3n; 6n + 3) = 3$.

3. Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $\text{НОК}(a; b) = 25$. Найдите $a$ и $b$.

4. Какие значения может принимать $\text{НОД}(a; b)$, если $a = 2n + 18, b = 2n + 21, n \in N$?

Решение.

1.

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) чисел 2431 и 1729 используем алгоритм Евклида, который заключается в последовательных делениях с остатком:
$2431 = 1 \cdot 1729 + 702$
$1729 = 2 \cdot 702 + 325$
$702 = 2 \cdot 325 + 52$
$325 = 6 \cdot 52 + 13$
$52 = 4 \cdot 13 + 0$
Последний ненулевой остаток является НОД. Таким образом, $\text{НОД}(2431; 1729) = 13$.
Ответ: 13.

2.

1) Воспользуемся свойством НОД: $\text{НОД}(a; b) = \text{НОД}(a; b - k \cdot a)$ для любого целого $k$.
$\text{НОД}(n; 3n + 1) = \text{НОД}(n; (3n + 1) - 3 \cdot n) = \text{НОД}(n; 1) = 1$.
Наибольший общий делитель любого натурального числа и единицы всегда равен 1, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что $\text{НОД}(n; 3n + 1) = 1$.

2) Применим то же свойство:
$\text{НОД}(3n; 6n + 3) = \text{НОД}(3n; (6n + 3) - 2 \cdot (3n)) = \text{НОД}(3n; 3)$.
Так как $n$ — натуральное число ($n \in N$), число $3n$ всегда делится на 3. Следовательно, их наибольший общий делитель равен 3, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что $\text{НОД}(3n; 6n + 3) = 3$.

3.

По определению, числа $a$ и $b$ являются делителями своего наименьшего общего кратного (НОК). Значит, $a$ и $b$ — делители числа 25.
Натуральные делители числа 25: 1, 5, 25.
Рассмотрим все возможные пары $(a, b)$, составленные из этих делителей, для которых $\text{НОК}(a; b) = 25$.
1. Если одно из чисел равно 25 (например, $b=25$), то $\text{НОК}(a; 25) = 25$ для любого $a$, которое является делителем 25. Это дает нам пары: (1; 25), (5; 25), (25; 25).
2. Если ни одно из чисел не равно 25, то максимальное значение НОК для оставшихся делителей (1, 5) будет $\text{НОК}(5; 5) = 5$, что не удовлетворяет условию.
Таким образом, хотя бы одно из чисел должно быть равно 25.
Возможные пары, учитывая, что порядок не важен: (1; 25), (5; 25), (25; 25). Если порядок важен, то добавляются пары (25; 1) и (25; 5).
Ответ: (1; 25), (25; 1), (5; 25), (25; 5), (25; 25).

4.

Пусть $d = \text{НОД}(a; b) = \text{НОД}(2n + 18; 2n + 21)$.
Используем свойство НОД: $\text{НОД}(x; y) = \text{НОД}(x; y - x)$.
$d = \text{НОД}(2n + 18; (2n + 21) - (2n + 18)) = \text{НОД}(2n + 18; 3)$.
Это означает, что $d$ является делителем числа 3. Возможные натуральные значения для $d$: 1 и 3.
Проверим, достигаются ли эти значения при $n \in N$.
1. $\text{НОД}(a;b)=3$? Это возможно, если $2n+18$ делится на 3. Так как 18 кратно 3, то и $2n$ должно быть кратно 3. Поскольку 2 и 3 взаимно просты, $n$ должно быть кратно 3. Например, при $n=3$:
$a = 2(3)+18=24$, $b=2(3)+21=27$. $\text{НОД}(24; 27) = 3$. Значение 3 возможно.
2. $\text{НОД}(a;b)=1$? Это возможно, если $2n+18$ не делится на 3. Это произойдет, если $n$ не кратно 3. Например, при $n=1$:
$a = 2(1)+18=20$, $b=2(1)+21=23$. $\text{НОД}(20; 23) = 1$, так как 23 — простое число. Значение 1 возможно.
Таким образом, НОД может принимать значения 1 и 3.
Ответ: 1 или 3.