Номер 11, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 11, страница 9.

Условие.

Самостоятельная работа № 11

Равносильные уравнения. Уравнение-следствие.

Рациональные уравнения

1. Равносильны ли уравнения:

1) $x^2 = -1$ и $|x| = -2;$

2) $x + 3 = 3 + x$ и $\frac{x+3}{x+3} = 1;$

3) $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = 0$ и $x^2 - 4 = 0;$

4) $\frac{(x + 2)^2}{x - 1} = 0$ и $x + 2 = 0?$

2. Какое из уравнений является следствием другого:

1) $(x - 1)(x + 2) = 0$ и $x + 2 = 0;$

2) $\frac{x^2}{x + 9} = \frac{81}{x + 9}$ и $x^2 - 81 = 0?$

3. Решите уравнение:

1) $\frac{3x - 5}{x - 1} - \frac{2x - 5}{x - 2} = 1;$

2) $\frac{x^2 + 9}{x^2 - 1} = \frac{x - 2}{x + 1} - \frac{5}{1 - x};$

3) $\frac{1}{x^2 - 6x} + \frac{1}{x^2 + 6x} = \frac{2x}{x^2 - 36}.$

Решение.

1. Равносильны ли уравнения:

1) Уравнение $x^2 = -1$ не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Уравнение $|x| = -2$ также не имеет действительных корней, так как модуль любого действительного числа неотрицателен. Поскольку множества решений обоих уравнений пусты (равны $\emptyset$), уравнения равносильны.
Ответ: да, равносильны.

2) Уравнение $x + 3 = 3 + x$ является тождеством, верным для любого действительного числа $x$. Множество его решений — все действительные числа ($\mathbb{R}$). Уравнение $\frac{x+3}{x+3} = 1$ определено при условии $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$. Множество его решений — все действительные числа, кроме $-3$. Так как множества решений не совпадают, уравнения не равносильны.
Ответ: нет, не равносильны.

3) Для уравнения $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = 0$ необходимо, чтобы числитель был равен нулю, а знаменатель не был равен нулю. $x^2 - 4 = 0$ дает корни $x=2$ и $x=-2$. Условие $x-2 \neq 0$ исключает корень $x=2$. Таким образом, решение первого уравнения — $x=-2$. Второе уравнение $x^2 - 4 = 0$ имеет два корня: $x=2$ и $x=-2$. Множества решений не совпадают, следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: нет, не равносильны.

4) Для уравнения $\frac{(x+2)^2}{x-1} = 0$ необходимо, чтобы $(x+2)^2=0$ и $x-1 \neq 0$. Из первого условия следует $x=-2$. Это значение удовлетворяет второму условию ($ -2-1 \neq 0$). Решением является $x=-2$. Второе уравнение $x+2=0$ также имеет единственный корень $x=-2$. Множества решений совпадают, значит, уравнения равносильны.
Ответ: да, равносильны.

2. Какое из уравнений является следствием другого:

1) Уравнение $(x - 1)(x + 2) = 0$ имеет корни $x=1$ и $x=-2$. Множество его решений $S_1 = \{1, -2\}$. Уравнение $x + 2 = 0$ имеет корень $x=-2$. Множество его решений $S_2 = \{-2\}$. Поскольку $S_2 \subset S_1$, то есть каждый корень второго уравнения является корнем первого, то уравнение $(x-1)(x+2)=0$ является следствием уравнения $x+2=0$.
Ответ: уравнение $(x-1)(x+2)=0$ является следствием уравнения $x+2=0$.

2) Решим уравнение $\frac{x^2}{x+9} = \frac{81}{x+9}$. Область допустимых значений (ОДЗ): $x+9 \neq 0$, т.е. $x \neq -9$. На этой области уравнение равносильно уравнению $x^2=81$, корни которого $x=9$ и $x=-9$. Учитывая ОДЗ, корень $x=-9$ является посторонним. Решение первого уравнения — $x=9$. Множество его решений $S_1 = \{9\}$. Уравнение $x^2 - 81 = 0$ имеет корни $x=9$ и $x=-9$. Множество его решений $S_2 = \{9, -9\}$. Поскольку $S_1 \subset S_2$, уравнение $x^2 - 81 = 0$ является следствием уравнения $\frac{x^2}{x+9} = \frac{81}{x+9}$.
Ответ: уравнение $x^2-81=0$ является следствием уравнения $\frac{x^2}{x+9} = \frac{81}{x+9}$.

3. Решите уравнение:

1) $\frac{3x-5}{x-1} - \frac{2x-5}{x-2} = 1$
ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq 2$.
Приведем к общему знаменателю $(x-1)(x-2)$ и умножим на него обе части уравнения:
$(3x-5)(x-2) - (2x-5)(x-1) = (x-1)(x-2)$
$(3x^2 - 6x - 5x + 10) - (2x^2 - 2x - 5x + 5) = x^2 - 2x - x + 2$
$3x^2 - 11x + 10 - 2x^2 + 7x - 5 = x^2 - 3x + 2$
$x^2 - 4x + 5 = x^2 - 3x + 2$
$-4x + 3x = 2 - 5$
$-x = -3$
$x = 3$
Корень $x=3$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x=3$.

2) $\frac{x^2+9}{x^2-1} = \frac{x-2}{x+1} - \frac{5}{1-x}$
Заметим, что $1-x = -(x-1)$ и $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. Перепишем уравнение:
$\frac{x^2+9}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-2}{x+1} + \frac{5}{x-1}$
ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Умножим обе части на общий знаменатель $(x-1)(x+1)$:
$x^2+9 = (x-2)(x-1) + 5(x+1)$
$x^2+9 = x^2 - x - 2x + 2 + 5x + 5$
$x^2+9 = x^2 + 2x + 7$
$9 = 2x + 7$
$2 = 2x$
$x = 1$
Полученный корень $x=1$ не входит в ОДЗ, следовательно, является посторонним.
Ответ: корней нет.

3) $\frac{1}{x^2-6x} + \frac{1}{x^2+6x} = \frac{2x}{x^2-36}$
Разложим знаменатели на множители:
$\frac{1}{x(x-6)} + \frac{1}{x(x+6)} = \frac{2x}{(x-6)(x+6)}$
ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq 6$, $x \neq -6$.
Общий знаменатель $x(x-6)(x+6)$. Умножим на него обе части уравнения:
$1 \cdot (x+6) + 1 \cdot (x-6) = 2x \cdot x$
$x + 6 + x - 6 = 2x^2$
$2x = 2x^2$
$2x^2 - 2x = 0$
$2x(x-1) = 0$
Получаем два возможных корня: $x=0$ или $x=1$.
Корень $x=0$ не входит в ОДЗ, поэтому является посторонним. Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x=1$.