Номер 13, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 13, страница 10.

Условие.

Самостоятельная работа № 13

Степень с целым отрицательным показателем

1. Найдите значение выражения:

1) $10^{-1} + 5^{-2}$;

2) $(\frac{2}{3})^{-1} + (-1,7)^0 - 2^{-3}$;

3) $(\frac{3}{4})^{-2} \cdot 2^{-3}$.

2. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными и нулевыми показателями:

1) $\frac{3^{-1}a^3b^{-5}c^{-7}}{2,6^0x^{-5}y^0z^{-30}}$;

2) $(x+2y)^{-1} : (2x^{-1} + y^{-1})^{-2}$.

3. Запишите число в стандартном виде и укажите порядок числа:

1) 12;

2) 0,0034;

3) $320 \cdot 10^3$;

4) $45 \cdot 10^{-4}$.

4. Сравните:

1) $4,7 \cdot 10^{-6}$ и $5,9 \cdot 10^{-7}$;

2) $1,23 \cdot 10^6$ и $0,12 \cdot 10^7$;

3) $31,6 \cdot 10^{-8}$ и $0,061 \cdot 10^{-6}$.

5. Порядок некоторого натурального числа равен 5. Сколько цифр содержит десятичная запись этого числа?

Решение.

1.

1)

Чтобы найти значение выражения $10^{-1} + 5^{-2}$, воспользуемся определением степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$10^{-1} = \frac{1}{10}$
$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$
Сложим полученные дроби, приведя их к общему знаменателю 50:
$10^{-1} + 5^{-2} = \frac{1}{10} + \frac{1}{25} = \frac{5}{50} + \frac{2}{50} = \frac{7}{50} = 0,14$.
Ответ: 0,14.

2)

Найдем значение выражения $(\frac{2}{3})^{-1} + (-1,7)^0 - 2^{-3}$.
Используем свойства степени: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, $a^0 = 1$ (для $a \neq 0$), $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$(\frac{2}{3})^{-1} = \frac{3}{2} = 1,5$
$(-1,7)^0 = 1$
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0,125$
Теперь выполним действия сложения и вычитания:
$1,5 + 1 - 0,125 = 2,5 - 0,125 = 2,375$.
Ответ: 2,375.

3)

Найдем значение выражения $(\frac{3}{4})^{-2} \cdot 2^{-3}$.
Преобразуем степени с отрицательным показателем:
$(\frac{3}{4})^{-2} = (\frac{4}{3})^2 = \frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9}$
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
Теперь выполним умножение:
$\frac{16}{9} \cdot \frac{1}{8} = \frac{16 \cdot 1}{9 \cdot 8} = \frac{2 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \frac{2}{9}$.
Ответ: $\frac{2}{9}$.

2.

1)

Преобразуем выражение $\frac{3^{-1}a^3b^{-5}c^{-7}}{2,6^0x^{-5}y^0z^{-30}}$ так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными и нулевыми показателями.
Используем свойства: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $a^0=1$ (для $a \neq 0$).
Переменные с отрицательным показателем в числителе переносим в знаменатель с положительным показателем. Переменные с отрицательным показателем в знаменателе переносим в числитель с положительным показателем.
$\frac{3^{-1}a^3b^{-5}c^{-7}}{2,6^0x^{-5}y^0z^{-30}} = \frac{a^3x^5z^{30}}{3^1b^5c^7 \cdot 2,6^0y^0} = \frac{a^3x^5z^{30}}{3b^5c^7 \cdot 1 \cdot 1} = \frac{a^3x^5z^{30}}{3b^5c^7}$.
Ответ: $\frac{a^3x^5z^{30}}{3b^5c^7}$.

2)

Преобразуем выражение $(x + 2y)^{-1} : (2x^{-1} + y^{-1})^{-2}$.
Сначала упростим выражения в скобках:
$(x + 2y)^{-1} = \frac{1}{x+2y}$
$2x^{-1} + y^{-1} = \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2y + x}{xy}$
Теперь возведем второе выражение в степень -2:
$(2x^{-1} + y^{-1})^{-2} = (\frac{x + 2y}{xy})^{-2} = (\frac{xy}{x + 2y})^2 = \frac{x^2y^2}{(x+2y)^2}$
Выполним деление:
$\frac{1}{x+2y} : \frac{x^2y^2}{(x+2y)^2} = \frac{1}{x+2y} \cdot \frac{(x+2y)^2}{x^2y^2} = \frac{x+2y}{x^2y^2}$.
Ответ: $\frac{x+2y}{x^2y^2}$.

3.

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число, которое называется порядком числа.

1)

$12 = 1,2 \cdot 10^1$.
Ответ: стандартный вид: $1,2 \cdot 10^1$, порядок: 1.

2)

$0,0034 = 3,4 \cdot 10^{-3}$.
Ответ: стандартный вид: $3,4 \cdot 10^{-3}$, порядок: -3.

3)

$320 \cdot 10^3 = (3,2 \cdot 10^2) \cdot 10^3 = 3,2 \cdot 10^{2+3} = 3,2 \cdot 10^5$.
Ответ: стандартный вид: $3,2 \cdot 10^5$, порядок: 5.

4)

$45 \cdot 10^{-4} = (4,5 \cdot 10^1) \cdot 10^{-4} = 4,5 \cdot 10^{1-4} = 4,5 \cdot 10^{-3}$.
Ответ: стандартный вид: $4,5 \cdot 10^{-3}$, порядок: -3.

4.

Для сравнения чисел, записанных в стандартном виде, сначала сравнивают их порядки. Больше то число, порядок которого больше. Если порядки равны, сравнивают мантиссы (множитель перед степенью десяти).

1)

Сравним $4,7 \cdot 10^{-6}$ и $5,9 \cdot 10^{-7}$.
Порядки чисел равны -6 и -7. Так как $-6 > -7$, то первое число больше.
$4,7 \cdot 10^{-6} > 5,9 \cdot 10^{-7}$.
Ответ: $4,7 \cdot 10^{-6} > 5,9 \cdot 10^{-7}$.

2)

Сравним $1,23 \cdot 10^6$ и $0,12 \cdot 10^7$.
Приведем второе число к стандартному виду: $0,12 \cdot 10^7 = (1,2 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^7 = 1,2 \cdot 10^6$.
Теперь сравним $1,23 \cdot 10^6$ и $1,2 \cdot 10^6$. Порядки чисел одинаковы (6), поэтому сравниваем мантиссы: $1,23$ и $1,2$.
Так как $1,23 > 1,2$, то первое число больше.
$1,23 \cdot 10^6 > 0,12 \cdot 10^7$.
Ответ: $1,23 \cdot 10^6 > 0,12 \cdot 10^7$.

3)

Сравним $31,6 \cdot 10^{-8}$ и $0,061 \cdot 10^{-6}$.
Приведем оба числа к стандартному виду.
$31,6 \cdot 10^{-8} = (3,16 \cdot 10^1) \cdot 10^{-8} = 3,16 \cdot 10^{-7}$.
$0,061 \cdot 10^{-6} = (6,1 \cdot 10^{-2}) \cdot 10^{-6} = 6,1 \cdot 10^{-8}$.
Теперь сравним $3,16 \cdot 10^{-7}$ и $6,1 \cdot 10^{-8}$. Сравниваем порядки: -7 и -8.
Так как $-7 > -8$, то первое число больше.
$31,6 \cdot 10^{-8} > 0,061 \cdot 10^{-6}$.
Ответ: $31,6 \cdot 10^{-8} > 0,061 \cdot 10^{-6}$.

5.

Порядок натурального числа, записанного в стандартном виде $a \cdot 10^n$, — это показатель степени $n$. Если порядок натурального числа равен $n$, то это число $N$ удовлетворяет неравенству $10^n \le N < 10^{n+1}$.
В данном случае порядок равен 5, то есть $n=5$.
Следовательно, число находится в диапазоне от $10^5$ до $10^6$ (не включая $10^6$).
$10^5 = 100~000$ (шесть цифр).
$10^6 = 1~000~000$ (семь цифр).
Все числа, большие или равные $100~000$ и меньшие $1~000~000$, являются шестизначными.
Количество цифр в десятичной записи такого числа равно $n+1 = 5+1=6$.
Ответ: 6 цифр.