Номер 7, страница 6 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Самостоятельные работы - номер 7, страница 6.

Условие.

Самостоятельная работа № 7

Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями

1. Представьте в виде дроби выражение:

1) $\frac{2a + 5b}{ab} - \frac{2a - 3b}{ab}$;

2) $\frac{5y}{y^2 - 9} - \frac{15}{y^2 - 9}$;

3) $\frac{y^2 + 8y}{4 - y^2} - \frac{4y - 4}{4 - y^2}$.

2. Упростите выражение:

1) $\frac{5}{2 - x} - \frac{x^3 - 3}{x - 2}$;

2) $\frac{16 - 7x}{(x - 4)^2} - \frac{x - x^2}{(4 - x)^2}$.

3. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения $\frac{2x + 4}{(x - 5)^3} + \frac{x - 1}{(5 - x)^3} - \frac{15}{(x - 5)^3}$ принимает положительные значения. 4. Найдите все натуральные значения $n$, при которых является целым числом значение выражения:

1) $\frac{6n + 2}{2n - 3}$;

2) $\frac{3n^2 + 2n - 14}{n - 2}$.

Решение.

1) Для того чтобы представить выражение в виде дроби, выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем.
$\frac{2a + 5b}{ab} - \frac{2a - 3b}{ab} = \frac{(2a + 5b) - (2a - 3b)}{ab} = \frac{2a + 5b - 2a + 3b}{ab} = \frac{8b}{ab} = \frac{8}{a}$.
Ответ: $\frac{8}{a}$.

2) Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычитаем числители.
$\frac{5y}{y^2 - 9} - \frac{15}{y^2 - 9} = \frac{5y - 15}{y^2 - 9}$.
Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем общий множитель 5 за скобки, а в знаменателе используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$\frac{5(y - 3)}{(y - 3)(y + 3)} = \frac{5}{y + 3}$.
Ответ: $\frac{5}{y + 3}$.

3) Знаменатели дробей одинаковы. Выполним вычитание числителей.
$\frac{y^2 + 8y}{4 - y^2} - \frac{4y - 4}{4 - y^2} = \frac{(y^2 + 8y) - (4y - 4)}{4 - y^2} = \frac{y^2 + 8y - 4y + 4}{4 - y^2} = \frac{y^2 + 4y + 4}{4 - y^2}$.
В числителе мы имеем полный квадрат $(y+2)^2$, а в знаменателе — разность квадратов $(2-y)(2+y)$.
$\frac{(y + 2)^2}{(2 - y)(2 + y)} = \frac{y + 2}{2 - y}$.
Ответ: $\frac{y + 2}{2 - y}$.

1. 1) Знаменатели дробей $2-x$ и $x-2$ являются противоположными выражениями, так как $2-x = -(x-2)$. Приведем дроби к общему знаменателю $2-x$.
$\frac{5}{2 - x} - \frac{x^3 - 3}{x - 2} = \frac{5}{2 - x} - \frac{x^3 - 3}{-(2 - x)} = \frac{5}{2 - x} + \frac{x^3 - 3}{2 - x} = \frac{5 + x^3 - 3}{2 - x} = \frac{x^3 + 2}{2 - x}$.
Ответ: $\frac{x^3 + 2}{2 - x}$.

2) Заметим, что $(4-x)^2 = (-(x-4))^2 = (x-4)^2$. Таким образом, знаменатели дробей равны.
$\frac{16 - 7x}{(x - 4)^2} - \frac{x - x^2}{(4 - x)^2} = \frac{16 - 7x}{(x - 4)^2} - \frac{x - x^2}{(x - 4)^2} = \frac{(16 - 7x) - (x - x^2)}{(x - 4)^2}$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{16 - 7x - x + x^2}{(x - 4)^2} = \frac{x^2 - 8x + 16}{(x - 4)^2}$.
Числитель является полным квадратом: $x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2$.
$\frac{(x - 4)^2}{(x - 4)^2} = 1$.
Ответ: $1$.

3. Сначала упростим данное выражение. Приведем все дроби к общему знаменателю $(x-5)^3$.
Заметим, что $(5-x)^3 = (-(x-5))^3 = (-1)^3(x-5)^3 = -(x-5)^3$.
$\frac{2x + 4}{(x - 5)^3} + \frac{x - 1}{(5 - x)^3} - \frac{15}{(x - 5)^3} = \frac{2x + 4}{(x - 5)^3} + \frac{x - 1}{-(x - 5)^3} - \frac{15}{(x - 5)^3} = \frac{2x + 4}{(x - 5)^3} - \frac{x - 1}{(x - 5)^3} - \frac{15}{(x - 5)^3}$.
Теперь, когда знаменатели одинаковы, объединим числители:
$\frac{(2x + 4) - (x - 1) - 15}{(x - 5)^3} = \frac{2x + 4 - x + 1 - 15}{(x - 5)^3} = \frac{x - 10}{(x - 5)^3}$.
Утверждение, что данное выражение принимает положительные значения при всех допустимых значениях переменной, является неверным. Область допустимых значений: $x \neq 5$.
Покажем это на контрпримере. Возьмем значение $x$ из области допустимых значений, например, $x = 6$.
Подставим $x=6$ в упрощенное выражение:
$\frac{6 - 10}{(6 - 5)^3} = \frac{-4}{1^3} = -4$.
Число -4 является отрицательным. Следовательно, утверждение о том, что выражение всегда принимает положительные значения, неверно.
Ответ: Утверждение неверно, так как, например, при $x=6$ значение выражения равно -4.

4. 1) Чтобы найти, при каких натуральных $n$ выражение является целым числом, выделим целую часть дроби.
$\frac{6n + 2}{2n - 3} = \frac{3(2n - 3) + 9 + 2}{2n - 3} = \frac{3(2n - 3) + 11}{2n - 3} = \frac{3(2n - 3)}{2n - 3} + \frac{11}{2n - 3} = 3 + \frac{11}{2n - 3}$.
Выражение будет целым числом, если дробь $\frac{11}{2n - 3}$ является целым числом. Это возможно, если знаменатель $2n - 3$ является делителем числа 11.
Делители числа 11: $\{-11, -1, 1, 11\}$.
Рассмотрим возможные случаи:
1) $2n - 3 = 1 \implies 2n = 4 \implies n = 2$.
2) $2n - 3 = 11 \implies 2n = 14 \implies n = 7$.
3) $2n - 3 = -1 \implies 2n = 2 \implies n = 1$.
4) $2n - 3 = -11 \implies 2n = -8 \implies n = -4$.
По условию $n$ — натуральное число, поэтому $n=-4$ не подходит.
Ответ: $1, 2, 7$.

2) Выделим целую часть дроби, используя деление многочлена на многочлен (уголком) или преобразование числителя.
$\frac{3n^2 + 2n - 14}{n - 2} = \frac{3n(n - 2) + 6n + 2n - 14}{n - 2} = \frac{3n(n - 2) + 8n - 14}{n - 2} = \frac{3n(n - 2) + 8(n - 2) + 16 - 14}{n - 2} = \frac{3n(n-2) + 8(n-2) + 2}{n-2} = 3n + 8 + \frac{2}{n - 2}$.
Выражение будет целым числом, если дробь $\frac{2}{n - 2}$ является целым числом. Это возможно, если знаменатель $n - 2$ является делителем числа 2.
Делители числа 2: $\{-2, -1, 1, 2\}$.
Рассмотрим возможные случаи:
1) $n - 2 = 1 \implies n = 3$.
2) $n - 2 = 2 \implies n = 4$.
3) $n - 2 = -1 \implies n = 1$.
4) $n - 2 = -2 \implies n = 0$.
По условию $n$ — натуральное число, поэтому $n=0$ не подходит.
Ответ: $1, 3, 4$.