Номер 2, страница 4 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 2, страница 4.

Условие.

Самостоятельная работа № 2

Операции над множествами

1. Пусть $A$ и $B$ — множества цифр, используемых соответственно для записи чисел 4733 и 843. Найдите:

1) $A \cap B$;

2) $A \cup B$;

3) $A \setminus B$.

2. Даны множества $A = \{x \mid x \in \mathbb{Z}, -2 \leq x < 3\}$ и $B = \{x \mid x \in \mathbb{Z}, x \leq 1\}$. Задайте перечислением элементов множества:

1) $A \cap B$;

2) $A \setminus B$.

3. На диаграмме Эйлера (рис. 1) изображены множества $A, B$ и $C$. Заштрихуйте множество:

1) $(A \cup C) \cap B$;

2) $(A \cap B) \setminus C$.

Рис. 1

Решение.

Сначала определим множества для первой задачи. $A$ — это множество уникальных цифр, используемых в числе 4733, следовательно, $A = \{3, 4, 7\}$. $B$ — это множество уникальных цифр, используемых в числе 843, следовательно, $B = \{3, 4, 8\}$.

1) $A \cap B$
Пересечение множеств $A \cap B$ включает в себя все элементы, которые одновременно принадлежат и множеству $A$, и множеству $B$. Сравнивая множества $A = \{3, 4, 7\}$ и $B = \{3, 4, 8\}$, мы находим, что общими элементами являются 3 и 4.
Ответ: $A \cap B = \{3, 4\}$.

2) $A \cup B$
Объединение множеств $A \cup B$ включает в себя все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств, без дублирования. Объединяя элементы из $A = \{3, 4, 7\}$ и $B = \{3, 4, 8\}$, получаем множество $\{3, 4, 7, 8\}$.
Ответ: $A \cup B = \{3, 4, 7, 8\}$.

3) $A \setminus B$
Разность множеств $A \setminus B$ включает в себя все элементы, которые принадлежат множеству $A$, но не принадлежат множеству $B$. Для этого из множества $A = \{3, 4, 7\}$ необходимо удалить все элементы, которые также содержатся в $B = \{3, 4, 8\}$. Такими элементами являются 3 и 4. После их удаления в множестве $A$ остается только элемент 7.
Ответ: $A \setminus B = \{7\}$.

---

Для второй задачи определим элементы множеств $A$ и $B$ путем их перечисления. Множество $A = \{x \mid x \in \mathbb{Z}, -2 \le x < 3\}$ состоит из целых чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $-2 \le x < 3$. Это числа: -2, -1, 0, 1, 2. Таким образом, $A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$. Множество $B = \{x \mid x \in \mathbb{Z}, x \le 1\}$ состоит из всех целых чисел, которые меньше или равны 1. Это бесконечное множество: $B = \{..., -2, -1, 0, 1\}$.

1) $A \cap B$
Найдем пересечение множеств $A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ и $B = \{..., -2, -1, 0, 1\}$. Общими являются те элементы множества $A$, которые также удовлетворяют условию $x \le 1$.
Ответ: $A \cap B = \{-2, -1, 0, 1\}$.

2) $A \setminus B$
Найдем разность множеств $A \setminus B$. Она содержит элементы, которые есть в $A$, но отсутствуют в $B$. Из множества $A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ нужно исключить все элементы, которые меньше или равны 1 (так как они принадлежат $B$). После удаления $\{-2, -1, 0, 1\}$ из $A$ остается единственный элемент — 2.
Ответ: $A \setminus B = \{2\}$.

---

1) $(A \cup C) \cap B$
Данное выражение описывает множество, элементы которого принадлежат множеству $B$ и одновременно принадлежат объединению множеств $A$ и $C$. Согласно распределительному закону, это эквивалентно $(A \cap B) \cup (C \cap B)$. Геометрически это означает, что нужно заштриховать область пересечения $A$ с $B$, а также область пересечения $C$ с $B$.

Ответ: Заштрихованная область на диаграмме.

2) $(A \cap B) \setminus C$
Данное выражение описывает множество, элементы которого принадлежат пересечению множеств $A$ и $B$, но не принадлежат множеству $C$. Геометрически это означает, что сначала мы находим общую область для множеств $A$ и $B$ (их пересечение), а затем из этой области "вырезаем" ту её часть, которая также попадает в множество $C$.

Ответ: Заштрихованная область на диаграмме.