Номер 3, страница 5 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 3, страница 5.

Условие.

Самостоятельная работа № 3

Формулы включения-исключения.

Взаимно однозначное соответствие

1. Докажите, что количество трёхзначных чисел равно количеству пятизначных чисел, в записи которых вторая и четвёртая цифры (считая слева направо) соответственно равны 2 и 7.

2. В 8 классе 26 учеников. Все ученики этого класса увлекаются математикой или химией. Математикой увлекаются 18 человек, а химией — 14 человек. Сколько учеников увлекаются и математикой, и химией?

Решение.

1.

Для доказательства данного утверждения мы посчитаем количество чисел в каждой из двух указанных групп и покажем, что эти количества равны.

Сначала найдём общее количество трёхзначных чисел. Трёхзначное число имеет вид $\overline{abc}$, где $a, b, c$ — его цифры.
- На месте первой цифры ($a$) может стоять любая цифра от 1 до 9 (всего 9 вариантов), так как число не может начинаться с нуля.
- На месте второй цифры ($b$) может стоять любая цифра от 0 до 9 (всего 10 вариантов).
- На месте третьей цифры ($c$) также может стоять любая цифра от 0 до 9 (всего 10 вариантов).
Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее количество трёхзначных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции: $N_3 = 9 \times 10 \times 10 = 900$.

Теперь найдём количество пятизначных чисел, в записи которых вторая цифра равна 2, а четвёртая — 7. Такое число имеет вид $\overline{a2c7e}$.
- На месте первой цифры ($a$) может стоять любая цифра от 1 до 9 (всего 9 вариантов).
- На месте второй цифры строго стоит цифра 2 (1 вариант).
- На месте третьей цифры ($c$) может стоять любая цифра от 0 до 9 (всего 10 вариантов).
- На месте четвёртой цифры строго стоит цифра 7 (1 вариант).
- На месте пятой цифры ($e$) может стоять любая цифра от 0 до 9 (всего 10 вариантов).
Общее количество таких пятизначных чисел равно: $N_5 = 9 \times 1 \times 10 \times 1 \times 10 = 900$.

Так как $N_3 = 900$ и $N_5 = 900$, мы видим, что количество трёхзначных чисел равно количеству пятизначных чисел с заданными свойствами. Это равенство объясняется существованием взаимно однозначного соответствия между этими двумя множествами чисел: каждому трёхзначному числу $\overline{xyz}$ соответствует уникальное пятизначное число $\overline{x2y7z}$, и наоборот.
Ответ: Количество чисел в обеих группах равно 900, что и доказывает утверждение.

2.

Эта задача решается с помощью формулы включений-исключений. Пусть $M$ — это множество учеников, которые увлекаются математикой, а $C$ — множество учеников, которые увлекаются химией.

Из условия задачи нам известны следующие данные:
- Всего в классе 26 учеников, и каждый из них увлекается либо математикой, либо химией. Это означает, что размер объединения двух множеств $|M \cup C| = 26$.
- Количество учеников, увлекающихся математикой: $|M| = 18$.
- Количество учеников, увлекающихся химией: $|C| = 14$.

Нам необходимо найти, сколько учеников увлекаются и математикой, и химией, то есть найти размер пересечения этих множеств — $|M \cap C|$.

Формула включений-исключений для двух множеств гласит: $|M \cup C| = |M| + |C| - |M \cap C|$

Подставим в неё известные нам значения: $26 = 18 + 14 - |M \cap C|$
$26 = 32 - |M \cap C|$

Теперь найдём $|M \cap C|$: $|M \cap C| = 32 - 26$
$|M \cap C| = 6$

Следовательно, 6 учеников увлекаются одновременно и математикой, и химией.
Ответ: 6 учеников.