Номер 3, страница 5 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Самостоятельные и контрольные работы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2015 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: красный
ISBN: 978-5-360-08298-9
Популярные ГДЗ в 8 классе
Вариант 1. Самостоятельные работы - номер 3, страница 5.
№3 (с. 5)
Условие. №3 (с. 5)
скриншот условия

Самостоятельная работа № 3
Формулы включения-исключения.
Взаимно однозначное соответствие
1. Докажите, что количество трёхзначных чисел равно количеству пятизначных чисел, в записи которых вторая и четвёртая цифры (считая слева направо) соответственно равны 2 и 7.
2. В 8 классе 26 учеников. Все ученики этого класса увлекаются математикой или химией. Математикой увлекаются 18 человек, а химией — 14 человек. Сколько учеников увлекаются и математикой, и химией?
Решение. №3 (с. 5)
1.
Для доказательства данного утверждения мы посчитаем количество чисел в каждой из двух указанных групп и покажем, что эти количества равны.
Сначала найдём общее количество трёхзначных чисел. Трёхзначное число имеет вид $\overline{abc}$, где $a, b, c$ — его цифры.
- На месте первой цифры ($a$) может стоять любая цифра от 1 до 9 (всего 9 вариантов), так как число не может начинаться с нуля.
- На месте второй цифры ($b$) может стоять любая цифра от 0 до 9 (всего 10 вариантов).
- На месте третьей цифры ($c$) также может стоять любая цифра от 0 до 9 (всего 10 вариантов).
Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее количество трёхзначных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции: $N_3 = 9 \times 10 \times 10 = 900$.
Теперь найдём количество пятизначных чисел, в записи которых вторая цифра равна 2, а четвёртая — 7. Такое число имеет вид $\overline{a2c7e}$.
- На месте первой цифры ($a$) может стоять любая цифра от 1 до 9 (всего 9 вариантов).
- На месте второй цифры строго стоит цифра 2 (1 вариант).
- На месте третьей цифры ($c$) может стоять любая цифра от 0 до 9 (всего 10 вариантов).
- На месте четвёртой цифры строго стоит цифра 7 (1 вариант).
- На месте пятой цифры ($e$) может стоять любая цифра от 0 до 9 (всего 10 вариантов).
Общее количество таких пятизначных чисел равно: $N_5 = 9 \times 1 \times 10 \times 1 \times 10 = 900$.
Так как $N_3 = 900$ и $N_5 = 900$, мы видим, что количество трёхзначных чисел равно количеству пятизначных чисел с заданными свойствами. Это равенство объясняется существованием взаимно однозначного соответствия между этими двумя множествами чисел: каждому трёхзначному числу $\overline{xyz}$ соответствует уникальное пятизначное число $\overline{x2y7z}$, и наоборот.
Ответ: Количество чисел в обеих группах равно 900, что и доказывает утверждение.
2.
Эта задача решается с помощью формулы включений-исключений. Пусть $M$ — это множество учеников, которые увлекаются математикой, а $C$ — множество учеников, которые увлекаются химией.
Из условия задачи нам известны следующие данные:
- Всего в классе 26 учеников, и каждый из них увлекается либо математикой, либо химией. Это означает, что размер объединения двух множеств $|M \cup C| = 26$.
- Количество учеников, увлекающихся математикой: $|M| = 18$.
- Количество учеников, увлекающихся химией: $|C| = 14$.
Нам необходимо найти, сколько учеников увлекаются и математикой, и химией, то есть найти размер пересечения этих множеств — $|M \cap C|$.
Формула включений-исключений для двух множеств гласит: $|M \cup C| = |M| + |C| - |M \cap C|$
Подставим в неё известные нам значения: $26 = 18 + 14 - |M \cap C|$
$26 = 32 - |M \cap C|$
Теперь найдём $|M \cap C|$: $|M \cap C| = 32 - 26$
$|M \cap C| = 6$
Следовательно, 6 учеников увлекаются одновременно и математикой, и химией.
Ответ: 6 учеников.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 3 расположенного на странице 5 к самостоятельным и контрольным работам серии алгоритм успеха 2015 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3 (с. 5), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.