Номер 1, страница 4 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 1, страница 4.

Условие.

Самостоятельная работа № 1

Множество. Подмножества данного множества

1. Дана функция $f(x) = 3 - |x|$. Какие из следующих утверждений являются верными:

1) $5 \in D(f)$;

2) $4 \in E(f)$;

3) $5 \notin E(f)$;

4) $4 \notin D(f)$?

2. Запишите все собственные подмножества множества натуральных делителей числа 6.

3. Изобразите с помощью диаграммы Эйлера соотношение между множествами $A$, $B$ и $C$, если: $A = \{1, 2\}$, $B = \{1, 2, 3, 4\}$, $C = \{2, 4\}$.

Решение.

1. Дана функция $f(x) = 3 - |x|$. Какие из следующих утверждений являются верными: 1) $5 \in D(f)$; 2) $4 \in E(f)$; 3) $5 \notin E(f)$; 4) $4 \notin D(f)$?

Для решения необходимо найти область определения $D(f)$ и область значений $E(f)$ функции.
Область определения $D(f)$: Выражение $3 - |x|$ определено для любого действительного числа $x$. Следовательно, область определения — это множество всех действительных чисел: $D(f) = \mathbb{R}$.
Область значений $E(f)$: Так как значение модуля любого числа неотрицательно ($|x| \ge 0$), то выражение $-|x| \le 0$. Прибавив 3 к обеим частям неравенства, получаем $3 - |x| \le 3$. Таким образом, $f(x) \le 3$. Следовательно, область значений функции: $E(f) = (-\infty, 3]$.
Проверим истинность каждого утверждения:
1) $5 \in D(f)$: Верно, так как 5 является действительным числом.
2) $4 \in E(f)$: Неверно, так как $4 > 3$, и значение 4 не входит в область значений $(-\infty, 3]$.
3) $5 \notin E(f)$: Верно, так как $5 > 3$, и значение 5 не входит в область значений $(-\infty, 3]$.
4) $4 \notin D(f)$: Неверно, так как 4 является действительным числом и входит в область определения.

Ответ: Верными являются утверждения 1) и 3).

2. Запишите все собственные подмножества множества натуральных делителей числа 6.

Сначала определим множество натуральных делителей числа 6. Это числа, на которые 6 делится нацело: $M = \{1, 2, 3, 6\}$.
Собственным подмножеством множества является любое его подмножество, не совпадающее с самим исходным множеством. Следовательно, нам нужно перечислить все подмножества множества $M$, кроме самого множества $\{1, 2, 3, 6\}$.

Ответ: $\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{6\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{1, 6\}, \{2, 3\}, \{2, 6\}, \{3, 6\}, \{1, 2, 3\}, \{1, 2, 6\}, \{1, 3, 6\}, \{2, 3, 6\}$.

3. Изобразите с помощью диаграммы Эйлера соотношение между множествами A, B и C, если: $A = \{1, 2\}, B = \{1, 2, 3, 4\}, C = \{2, 4\}$.

Для построения диаграммы Эйлера проанализируем отношения между множествами:
- Все элементы множества $A=\{1, 2\}$ содержатся в множестве $B=\{1, 2, 3, 4\}$, следовательно, $A$ является подмножеством $B$ ($A \subset B$).
- Все элементы множества $C=\{2, 4\}$ содержатся в множестве $B$, следовательно, $C$ является подмножеством $B$ ($C \subset B$).
- Множества $A$ и $C$ имеют общий элемент 2, то есть они пересекаются, и их пересечение равно $A \cap C = \{2\}$.
Таким образом, диаграмма должна изображать две пересекающиеся области ($A$ и $C$), которые полностью находятся внутри третьей, большей области ($B$).

Ответ: