Номер 8, страница 7 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Самостоятельные работы - номер 8, страница 7.

Условие.

Самостоятельная работа № 8

Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями

1. Представьте в виде дроби выражение:

1) $\frac{4}{12xy} - \frac{11}{18xy};$

2) $\frac{3a - 4b}{a} + \frac{8a^2 + 4b^2}{ab};$

3) $5 - \frac{4m + 5n}{n};$

4) $\frac{a^2 + b^2}{2a - b} + 2a + b.$

2. Выполните действия:

1) $\frac{3x}{4x - 4} + \frac{5x}{7 - 7x};$

2) $\frac{2b}{2b + c} - \frac{4b^2}{4b^2 + 4bc + c^2};$

3) $\frac{2}{a^2 - 9} - \frac{1}{a^2 + 3a}.$

3. Упростите выражение:

$\frac{a + 3}{a^2 + 3a + 9} - \frac{1}{a - 3} + \frac{a^3 + 3a - 9}{a^3 - 27}.$

4. Докажите тождество:

$\frac{1}{x(x + 2)} + \frac{1}{(x + 2)(x + 4)} + \frac{1}{(x + 4)(x + 6)} + \frac{1}{(x + 6)(x + 8)} = \frac{4}{x(x + 8)}.$

Решение.

1) $\frac{4}{12xy} - \frac{11}{18xy}$. Общий знаменатель для $12xy$ и $18xy$ - это $36xy$.
$\frac{4 \cdot 3}{36xy} - \frac{11 \cdot 2}{36xy} = \frac{12 - 22}{36xy} = \frac{-10}{36xy} = -\frac{5}{18xy}$.
Ответ: $-\frac{5}{18xy}$.

2) $\frac{3a - 4b}{a} + \frac{8a^2 + 4b^2}{ab}$. Общий знаменатель - $ab$.
$\frac{(3a - 4b)b}{ab} + \frac{8a^2 + 4b^2}{ab} = \frac{3ab - 4b^2 + 8a^2 + 4b^2}{ab} = \frac{8a^2 + 3ab}{ab}$.
Вынесем общий множитель $a$ в числителе: $\frac{a(8a + 3b)}{ab} = \frac{8a + 3b}{b}$.
Ответ: $\frac{8a + 3b}{b}$.

3) $5 - \frac{4m + 5n}{n}$. Представим 5 в виде дроби со знаменателем $n$: $\frac{5n}{n}$.
$\frac{5n}{n} - \frac{4m + 5n}{n} = \frac{5n - (4m + 5n)}{n} = \frac{5n - 4m - 5n}{n} = \frac{-4m}{n}$.
Ответ: $-\frac{4m}{n}$.

4) $\frac{a^2 + b^2}{2a - b} + 2a + b$. Представим $2a+b$ в виде дроби со знаменателем $2a-b$.
$\frac{a^2 + b^2}{2a - b} + \frac{(2a + b)(2a - b)}{2a - b} = \frac{a^2 + b^2 + (4a^2 - b^2)}{2a - b} = \frac{a^2 + b^2 + 4a^2 - b^2}{2a - b} = \frac{5a^2}{2a - b}$.
Ответ: $\frac{5a^2}{2a - b}$.

1) $\frac{3x}{4x - 4} + \frac{5x}{7 - 7x}$. Разложим знаменатели на множители: $4x - 4 = 4(x - 1)$ и $7 - 7x = 7(1 - x) = -7(x - 1)$.
$\frac{3x}{4(x - 1)} + \frac{5x}{-7(x - 1)} = \frac{3x}{4(x - 1)} - \frac{5x}{7(x - 1)}$.
Общий знаменатель $28(x-1)$.
$\frac{3x \cdot 7}{28(x - 1)} - \frac{5x \cdot 4}{28(x - 1)} = \frac{21x - 20x}{28(x - 1)} = \frac{x}{28(x - 1)}$.
Ответ: $\frac{x}{28(x - 1)}$.

2) $\frac{2b}{2b + c} - \frac{4b^2}{4b^2 + 4bc + c^2}$. Второй знаменатель является полным квадратом: $4b^2 + 4bc + c^2 = (2b + c)^2$.
$\frac{2b}{2b + c} - \frac{4b^2}{(2b + c)^2}$. Общий знаменатель $(2b+c)^2$.
$\frac{2b(2b + c)}{(2b + c)^2} - \frac{4b^2}{(2b + c)^2} = \frac{4b^2 + 2bc - 4b^2}{(2b + c)^2} = \frac{2bc}{(2b + c)^2}$.
Ответ: $\frac{2bc}{(2b + c)^2}$.

3) $\frac{2}{a^2 - 9} - \frac{1}{a^2 + 3a}$. Разложим знаменатели на множители: $a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$ и $a^2 + 3a = a(a + 3)$.
$\frac{2}{(a - 3)(a + 3)} - \frac{1}{a(a + 3)}$. Общий знаменатель $a(a-3)(a+3)$.
$\frac{2a}{a(a - 3)(a + 3)} - \frac{1(a - 3)}{a(a - 3)(a + 3)} = \frac{2a - (a - 3)}{a(a - 3)(a + 3)} = \frac{2a - a + 3}{a(a - 3)(a + 3)} = \frac{a + 3}{a(a - 3)(a + 3)}$.
Сократим на $(a+3)$: $\frac{1}{a(a - 3)}$.
Ответ: $\frac{1}{a(a - 3)}$.

3. $\frac{a + 3}{a^2 + 3a + 9} - \frac{1}{a - 3} + \frac{a^3 + 3a - 9}{a^3 - 27}$.
Разложим знаменатель $a^3 - 27$ по формуле разности кубов: $a^3 - 3^3 = (a - 3)(a^2 + 3a + 9)$.
Этот знаменатель является общим для всех дробей.
$\frac{(a + 3)(a - 3)}{(a - 3)(a^2 + 3a + 9)} - \frac{1(a^2 + 3a + 9)}{(a - 3)(a^2 + 3a + 9)} + \frac{a^3 + 3a - 9}{(a - 3)(a^2 + 3a + 9)}$.
Приведем к общему числителю:
$\frac{(a^2 - 9) - (a^2 + 3a + 9) + (a^3 + 3a - 9)}{a^3 - 27} = \frac{a^2 - 9 - a^2 - 3a - 9 + a^3 + 3a - 9}{a^3 - 27}$.
Упростим числитель: $\frac{a^3 - 27}{a^3 - 27} = 1$.
Ответ: $1$.

4. Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть (ЛЧ).
ЛЧ = $\frac{1}{x(x + 2)} + \frac{1}{(x + 2)(x + 4)} + \frac{1}{(x + 4)(x + 6)} + \frac{1}{(x + 6)(x + 8)}$.
Используем свойство $\frac{1}{A \cdot B} = \frac{1}{B-A}(\frac{1}{A} - \frac{1}{B})$. Для каждого слагаемого в данной сумме $B-A=2$.
ЛЧ = $\frac{1}{2}(\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 2}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 4}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x + 6}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{x + 6} - \frac{1}{x + 8})$.
Вынесем $\frac{1}{2}$ за скобки и увидим, что внутренние слагаемые взаимно уничтожаются:
ЛЧ = $\frac{1}{2}[(\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 2}) + (\frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 4}) + (\frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x + 6}) + (\frac{1}{x + 6} - \frac{1}{x + 8})]$.
ЛЧ = $\frac{1}{2}[\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 8}] = \frac{1}{2}[\frac{x+8-x}{x(x+8)}] = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{x(x+8)} = \frac{4}{x(x+8)}$.
Полученное выражение равно правой части тождества. Что и требовалось доказать.