Номер 10, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Самостоятельные и контрольные работы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2015 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: красный
ISBN: 978-5-360-08298-9
Популярные ГДЗ в 8 классе
Вариант 1. Самостоятельные работы - номер 10, страница 8.
№10 (с. 8)
Условие. №10 (с. 8)
скриншот условия


Самостоятельная работа № 10
Тождественные преобразования рациональных выражений
1. Упростите выражение:
1) $\left( \frac{a - 2}{a + 2} - \frac{a + 2}{a - 2} \right) : \frac{12a^2}{4 - a^2};$
2) $\frac{5a}{a + 3} + \frac{a - 6}{3a + 9} \cdot \frac{135}{6a - a^2};$
3) $m - \frac{\frac{14m - 49}{m}}{\frac{7}{m} - 1}.$
2. Докажите тождество:
$\left( \frac{1}{(a - 2)^2} + \frac{2}{a^2 - 4} + \frac{1}{(a + 2)^2} \right) : \frac{2a}{(a^2 - 4)^2} = 2a.$
3. Докажите, что при всех допустимых значениях а значение выражения
$\left( \frac{1}{a + 3} - \frac{27}{a^3 + 27} + \frac{9}{a^2 - 3a + 9} \right) \cdot \left( a - \frac{6a - 9}{a + 3} \right)$
не зависит от значения а.
Решение. №10 (с. 8)
1)
Сначала выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(a+2)(a-2) = a^2-4$.
$\frac{a-2}{a+2} - \frac{a+2}{a-2} = \frac{(a-2)^2 - (a+2)^2}{(a+2)(a-2)} = \frac{(a^2-4a+4) - (a^2+4a+4)}{a^2-4} = \frac{a^2-4a+4-a^2-4a-4}{a^2-4} = \frac{-8a}{a^2-4}$
Теперь выполним деление. Заметим, что $4-a^2 = -(a^2-4)$. Деление заменяем на умножение на обратную дробь.
$(\frac{-8a}{a^2-4}) : \frac{12a^2}{4-a^2} = \frac{-8a}{a^2-4} \cdot \frac{4-a^2}{12a^2} = \frac{-8a}{a^2-4} \cdot \frac{-(a^2-4)}{12a^2}$
Сокращаем $(a^2-4)$ и $a$. Минусы взаимно уничтожаются:
$\frac{8a(a^2-4)}{12a^2(a^2-4)} = \frac{8a}{12a^2} = \frac{2}{3a}$
Ответ: $\frac{2}{3a}$
2)
Согласно порядку действий, сначала выполним умножение. Для этого разложим знаменатели на множители: $3a+9 = 3(a+3)$ и $6a-a^2 = a(6-a)$.
$\frac{a-6}{3a+9} \cdot \frac{135}{6a-a^2} = \frac{a-6}{3(a+3)} \cdot \frac{135}{a(6-a)}$
Заметим, что $a-6 = -(6-a)$. Сократим дробь на $(6-a)$ и 3:
$\frac{-(6-a)}{3(a+3)} \cdot \frac{135}{a(6-a)} = \frac{-1 \cdot 135}{3a(a+3)} = \frac{-45}{a(a+3)}$
Теперь выполним сложение, приведя дроби к общему знаменателю $a(a+3)$:
$\frac{5a}{a+3} + \frac{-45}{a(a+3)} = \frac{5a \cdot a}{a(a+3)} - \frac{45}{a(a+3)} = \frac{5a^2-45}{a(a+3)}$
Вынесем общий множитель 5 в числителе и применим формулу разности квадратов $a^2-9=(a-3)(a+3)$:
$\frac{5(a^2-9)}{a(a+3)} = \frac{5(a-3)(a+3)}{a(a+3)}$
Сократим на $(a+3)$:
$\frac{5(a-3)}{a}$
Ответ: $\frac{5(a-3)}{a}$
3)
Упростим числитель и знаменатель многоэтажной дроби по отдельности.
Преобразуем числитель: $m - \frac{14m-49}{m} = \frac{m \cdot m}{m} - \frac{14m-49}{m} = \frac{m^2 - (14m-49)}{m} = \frac{m^2-14m+49}{m}$. Числитель является полным квадратом $(m-7)^2$. Получаем $\frac{(m-7)^2}{m}$.
Преобразуем знаменатель: $\frac{7}{m} - 1 = \frac{7}{m} - \frac{m}{m} = \frac{7-m}{m}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{\frac{(m-7)^2}{m}}{\frac{7-m}{m}} = \frac{(m-7)^2}{m} \cdot \frac{m}{7-m}$
Сократим $m$ и учтем, что $7-m = -(m-7)$:
$\frac{(m-7)^2}{-(m-7)} = -(m-7) = 7-m$
Ответ: $7-m$
2.
Для доказательства тождества упростим его левую часть. Сначала преобразуем выражение в первых скобках. Разложим знаменатель средней дроби по формуле разности квадратов: $a^2-4 = (a-2)(a+2)$.
$\frac{1}{(a-2)^2} + \frac{2}{(a-2)(a+2)} + \frac{1}{(a+2)^2}$
Данное выражение является разложением квадрата суммы: $(\frac{1}{a-2} + \frac{1}{a+2})^2$.
Упростим сумму в основании квадрата, приведя к общему знаменателю:
$\frac{1}{a-2} + \frac{1}{a+2} = \frac{(a+2)+(a-2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{2a}{a^2-4}$
Следовательно, выражение в первых скобках равно:
$(\frac{2a}{a^2-4})^2 = \frac{4a^2}{(a^2-4)^2}$
Теперь выполним деление:
$\frac{4a^2}{(a^2-4)^2} : \frac{2a}{(a^2-4)^2} = \frac{4a^2}{(a^2-4)^2} \cdot \frac{(a^2-4)^2}{2a}$
Сократим дробь на $(a^2-4)^2$ и $2a$:
$\frac{4a^2}{2a} = 2a$
Мы получили, что левая часть выражения равна $2a$, что соответствует правой части. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.
3.
Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от $a$, необходимо его упростить. Если в результате получится константа (число), то утверждение будет доказано.
Упростим выражение в первой скобке. Используем формулу суммы кубов для знаменателя второй дроби: $a^3+27 = a^3+3^3 = (a+3)(a^2-3a+9)$. Это и будет общий знаменатель для всех трех дробей.
$\frac{1}{a+3} - \frac{27}{a^3+27} + \frac{9}{a^2-3a+9} = \frac{1 \cdot (a^2-3a+9)}{(a+3)(a^2-3a+9)} - \frac{27}{(a+3)(a^2-3a+9)} + \frac{9 \cdot (a+3)}{(a^2-3a+9)(a+3)}$
Объединим дроби, записав все под общим знаменателем:
$\frac{(a^2-3a+9) - 27 + 9(a+3)}{a^3+27} = \frac{a^2-3a+9-27+9a+27}{a^3+27} = \frac{a^2+6a+9}{a^3+27}$
Числитель $a^2+6a+9$ является полным квадратом $(a+3)^2$. Подставим это в дробь:
$\frac{(a+3)^2}{(a+3)(a^2-3a+9)} = \frac{a+3}{a^2-3a+9}$
Теперь упростим выражение во второй скобке:
$a - \frac{6a-9}{a+3} = \frac{a(a+3)}{a+3} - \frac{6a-9}{a+3} = \frac{a^2+3a - (6a-9)}{a+3} = \frac{a^2+3a-6a+9}{a+3} = \frac{a^2-3a+9}{a+3}$
Наконец, перемножим упрощенные выражения из обеих скобок:
$(\frac{a+3}{a^2-3a+9}) \cdot (\frac{a^2-3a+9}{a+3}) = 1$
Результат упрощения - число 1. Это означает, что при всех допустимых значениях $a$ (в данном случае $a \ne -3$) значение выражения постоянно и не зависит от $a$.
Ответ: Значение выражения равно 1, следовательно, оно не зависит от $a$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 10 расположенного на странице 8 к самостоятельным и контрольным работам серии алгоритм успеха 2015 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №10 (с. 8), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.