Номер 10, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 10, страница 8.

Условие.

Самостоятельная работа № 10

Тождественные преобразования рациональных выражений

1. Упростите выражение:

1) $\left( \frac{a - 2}{a + 2} - \frac{a + 2}{a - 2} \right) : \frac{12a^2}{4 - a^2};$

2) $\frac{5a}{a + 3} + \frac{a - 6}{3a + 9} \cdot \frac{135}{6a - a^2};$

3) $m - \frac{\frac{14m - 49}{m}}{\frac{7}{m} - 1}.$

2. Докажите тождество:

$\left( \frac{1}{(a - 2)^2} + \frac{2}{a^2 - 4} + \frac{1}{(a + 2)^2} \right) : \frac{2a}{(a^2 - 4)^2} = 2a.$

3. Докажите, что при всех допустимых значениях а значение выражения

$\left( \frac{1}{a + 3} - \frac{27}{a^3 + 27} + \frac{9}{a^2 - 3a + 9} \right) \cdot \left( a - \frac{6a - 9}{a + 3} \right)$

не зависит от значения а.

Решение.

1)

Сначала выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(a+2)(a-2) = a^2-4$.

$\frac{a-2}{a+2} - \frac{a+2}{a-2} = \frac{(a-2)^2 - (a+2)^2}{(a+2)(a-2)} = \frac{(a^2-4a+4) - (a^2+4a+4)}{a^2-4} = \frac{a^2-4a+4-a^2-4a-4}{a^2-4} = \frac{-8a}{a^2-4}$

Теперь выполним деление. Заметим, что $4-a^2 = -(a^2-4)$. Деление заменяем на умножение на обратную дробь.

$(\frac{-8a}{a^2-4}) : \frac{12a^2}{4-a^2} = \frac{-8a}{a^2-4} \cdot \frac{4-a^2}{12a^2} = \frac{-8a}{a^2-4} \cdot \frac{-(a^2-4)}{12a^2}$

Сокращаем $(a^2-4)$ и $a$. Минусы взаимно уничтожаются:

$\frac{8a(a^2-4)}{12a^2(a^2-4)} = \frac{8a}{12a^2} = \frac{2}{3a}$

Ответ: $\frac{2}{3a}$

2)

Согласно порядку действий, сначала выполним умножение. Для этого разложим знаменатели на множители: $3a+9 = 3(a+3)$ и $6a-a^2 = a(6-a)$.

$\frac{a-6}{3a+9} \cdot \frac{135}{6a-a^2} = \frac{a-6}{3(a+3)} \cdot \frac{135}{a(6-a)}$

Заметим, что $a-6 = -(6-a)$. Сократим дробь на $(6-a)$ и 3:

$\frac{-(6-a)}{3(a+3)} \cdot \frac{135}{a(6-a)} = \frac{-1 \cdot 135}{3a(a+3)} = \frac{-45}{a(a+3)}$

Теперь выполним сложение, приведя дроби к общему знаменателю $a(a+3)$:

$\frac{5a}{a+3} + \frac{-45}{a(a+3)} = \frac{5a \cdot a}{a(a+3)} - \frac{45}{a(a+3)} = \frac{5a^2-45}{a(a+3)}$

Вынесем общий множитель 5 в числителе и применим формулу разности квадратов $a^2-9=(a-3)(a+3)$:

$\frac{5(a^2-9)}{a(a+3)} = \frac{5(a-3)(a+3)}{a(a+3)}$

Сократим на $(a+3)$:

$\frac{5(a-3)}{a}$

Ответ: $\frac{5(a-3)}{a}$

3)

Упростим числитель и знаменатель многоэтажной дроби по отдельности.

Преобразуем числитель: $m - \frac{14m-49}{m} = \frac{m \cdot m}{m} - \frac{14m-49}{m} = \frac{m^2 - (14m-49)}{m} = \frac{m^2-14m+49}{m}$. Числитель является полным квадратом $(m-7)^2$. Получаем $\frac{(m-7)^2}{m}$.

Преобразуем знаменатель: $\frac{7}{m} - 1 = \frac{7}{m} - \frac{m}{m} = \frac{7-m}{m}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{(m-7)^2}{m}}{\frac{7-m}{m}} = \frac{(m-7)^2}{m} \cdot \frac{m}{7-m}$

Сократим $m$ и учтем, что $7-m = -(m-7)$:

$\frac{(m-7)^2}{-(m-7)} = -(m-7) = 7-m$

Ответ: $7-m$

2.

Для доказательства тождества упростим его левую часть. Сначала преобразуем выражение в первых скобках. Разложим знаменатель средней дроби по формуле разности квадратов: $a^2-4 = (a-2)(a+2)$.

$\frac{1}{(a-2)^2} + \frac{2}{(a-2)(a+2)} + \frac{1}{(a+2)^2}$

Данное выражение является разложением квадрата суммы: $(\frac{1}{a-2} + \frac{1}{a+2})^2$.

Упростим сумму в основании квадрата, приведя к общему знаменателю:

$\frac{1}{a-2} + \frac{1}{a+2} = \frac{(a+2)+(a-2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{2a}{a^2-4}$

Следовательно, выражение в первых скобках равно:

$(\frac{2a}{a^2-4})^2 = \frac{4a^2}{(a^2-4)^2}$

Теперь выполним деление:

$\frac{4a^2}{(a^2-4)^2} : \frac{2a}{(a^2-4)^2} = \frac{4a^2}{(a^2-4)^2} \cdot \frac{(a^2-4)^2}{2a}$

Сократим дробь на $(a^2-4)^2$ и $2a$:

$\frac{4a^2}{2a} = 2a$

Мы получили, что левая часть выражения равна $2a$, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от $a$, необходимо его упростить. Если в результате получится константа (число), то утверждение будет доказано.

Упростим выражение в первой скобке. Используем формулу суммы кубов для знаменателя второй дроби: $a^3+27 = a^3+3^3 = (a+3)(a^2-3a+9)$. Это и будет общий знаменатель для всех трех дробей.

$\frac{1}{a+3} - \frac{27}{a^3+27} + \frac{9}{a^2-3a+9} = \frac{1 \cdot (a^2-3a+9)}{(a+3)(a^2-3a+9)} - \frac{27}{(a+3)(a^2-3a+9)} + \frac{9 \cdot (a+3)}{(a^2-3a+9)(a+3)}$

Объединим дроби, записав все под общим знаменателем:

$\frac{(a^2-3a+9) - 27 + 9(a+3)}{a^3+27} = \frac{a^2-3a+9-27+9a+27}{a^3+27} = \frac{a^2+6a+9}{a^3+27}$

Числитель $a^2+6a+9$ является полным квадратом $(a+3)^2$. Подставим это в дробь:

$\frac{(a+3)^2}{(a+3)(a^2-3a+9)} = \frac{a+3}{a^2-3a+9}$

Теперь упростим выражение во второй скобке:

$a - \frac{6a-9}{a+3} = \frac{a(a+3)}{a+3} - \frac{6a-9}{a+3} = \frac{a^2+3a - (6a-9)}{a+3} = \frac{a^2+3a-6a+9}{a+3} = \frac{a^2-3a+9}{a+3}$

Наконец, перемножим упрощенные выражения из обеих скобок:

$(\frac{a+3}{a^2-3a+9}) \cdot (\frac{a^2-3a+9}{a+3}) = 1$

Результат упрощения - число 1. Это означает, что при всех допустимых значениях $a$ (в данном случае $a \ne -3$) значение выражения постоянно и не зависит от $a$.

Ответ: Значение выражения равно 1, следовательно, оно не зависит от $a$.