Номер 12, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Самостоятельные работы - номер 12, страница 10.

Условие.

Самостоятельная работа № 12

Рациональные уравнения с параметрами

1. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение:

1) $\frac{x - a}{x - 2} = 0;$

2) $\frac{(x - 5)(x + 6)}{x - a} = 0;$

3) $\frac{x - 2a}{x + 4} = a + 1.$

2. При каких значениях параметра $a$ уравнения $(a - 1)(x + 2) = 0$ и $a^2 + x = a - 2$ равносильны?

Решение.

1.

1)

Дано уравнение $\frac{x-a}{x-2} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это равносильно системе:

$\begin{cases} x - a = 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $x=a$.

Из второго неравенства получаем $x \neq 2$.

Чтобы решение $x=a$ было корнем исходного уравнения, оно должно удовлетворять условию $x \neq 2$, то есть $a \neq 2$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $a = 2$, то корень $x=a=2$ не удовлетворяет условию $x \neq 2$. В этом случае уравнение не имеет корней.

2. Если $a \neq 2$, то корень $x=a$ удовлетворяет условию $x \neq 2$. В этом случае уравнение имеет единственный корень $x=a$.

Ответ: если $a=2$, то корней нет; если $a \neq 2$, то $x=a$.

2)

Дано уравнение $\frac{(x-5)(x+6)}{x-a} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} (x-5)(x+6) = 0 \\ x - a \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $x-5=0$ или $x+6=0$. Отсюда получаем два возможных корня: $x_1=5$ и $x_2=-6$.

Из второго неравенства следует, что $x \neq a$.

Теперь нужно проверить, при каких значениях параметра $a$ найденные корни удовлетворяют условию $x \neq a$.

Рассмотрим три случая:

1. Если $a=5$, то корень $x_1=5$ не является решением, так как знаменатель обращается в ноль. Единственным корнем уравнения будет $x=-6$.

2. Если $a=-6$, то корень $x_2=-6$ не является решением. Единственным корнем уравнения будет $x=5$.

3. Если $a \neq 5$ и $a \neq -6$, то оба значения $x=5$ и $x=-6$ являются корнями уравнения, так как ни одно из них не обращает знаменатель в ноль.

Ответ: если $a=5$, то $x=-6$; если $a=-6$, то $x=5$; если $a \neq 5$ и $a \neq -6$, то $x_1=5, x_2=-6$.

3)

Дано уравнение $\frac{x-2a}{x+4} = a+1$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x+4 \neq 0$, то есть $x \neq -4$.

Преобразуем уравнение, умножив обе части на $x+4$ при условии $x \neq -4$:

$x - 2a = (a+1)(x+4)$

$x - 2a = ax + 4a + x + 4$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а остальные в другую:

$x - ax - x = 4a + 4 + 2a$

$-ax = 6a + 4$

Рассмотрим два случая:

1. Если коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $a \neq 0$. Тогда уравнение имеет единственный корень:

$x = \frac{-(6a+4)}{a}$

Теперь проверим, при каком значении $a$ этот корень равен $-4$ (значение, исключенное из ОДЗ).

$-\frac{6a+4}{a} = -4$

$6a+4 = 4a$

$2a = -4$

$a = -2$

Следовательно, при $a=-2$ корень уравнения $x=-4$ не входит в ОДЗ, и в этом случае уравнение не имеет решений.

2. Если коэффициент при $x$ равен нулю, то есть $a=0$. Подставим это значение в уравнение $-ax = 6a + 4$:

$0 \cdot x = 6 \cdot 0 + 4$

$0 = 4$

Получено неверное равенство, следовательно, при $a=0$ уравнение не имеет корней.

Соберем все результаты вместе:

- при $a=0$ и $a=-2$ корней нет.

- при $a \neq 0$ и $a \neq -2$ уравнение имеет единственный корень $x = -\frac{6a+4}{a}$.

Ответ: если $a=0$ или $a=-2$, то корней нет; если $a \neq 0$ и $a \neq -2$, то $x = -\frac{6a+4}{a}$.

2.

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают.

Рассмотрим первое уравнение: $(a-1)(x+2) = 0$.

1. Если $a-1=0$, то есть $a=1$, уравнение принимает вид $0 \cdot (x+2) = 0$, или $0=0$. Это верное равенство при любом значении $x$. Следовательно, при $a=1$ решением первого уравнения является любое действительное число ($x \in R$).

2. Если $a-1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$, то можно разделить обе части уравнения на $a-1$. Получим $x+2=0$, откуда $x=-2$. Следовательно, при $a \neq 1$ первое уравнение имеет единственный корень $x=-2$.

Рассмотрим второе уравнение: $a^2+x=a-2$.

Выразим $x$: $x = -a^2 + a - 2$.

Это уравнение при любом значении параметра $a$ имеет единственный корень $x = -a^2 + a - 2$.

Для того чтобы уравнения были равносильны, их множества решений должны совпадать. Случай, когда $a=1$, не подходит, так как у первого уравнения бесконечно много корней, а у второго — только один.

Следовательно, нужно рассматривать случай $a \neq 1$, когда первое уравнение имеет единственный корень $x=-2$. Для равносильности необходимо, чтобы корень второго уравнения также был равен $-2$.

Приравняем корень второго уравнения к $-2$:

$-a^2 + a - 2 = -2$

$-a^2 + a = 0$

$a^2 - a = 0$

$a(a-1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $a$: $a=0$ или $a=1$.

Поскольку мы рассматриваем случай $a \neq 1$, значение $a=1$ нужно исключить.

Остается единственное возможное значение $a=0$.

Проверим его:

При $a=0$ первое уравнение: $(0-1)(x+2)=0 \Rightarrow -1(x+2)=0 \Rightarrow x=-2$.

При $a=0$ второе уравнение: $0^2+x=0-2 \Rightarrow x=-2$.

Множества корней обоих уравнений совпадают (оба имеют единственный корень $x=-2$). Значит, при $a=0$ уравнения равносильны.

Ответ: $a=0$.