Номер 14, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 14, страница 10.

Условие.

Самостоятельная работа № 14

Свойства степени с целым показателем

1. Представьте выражение в виде степени с основанием a или произведения степеней с разными основаниями:

1) $a^{-8} \cdot a^{12};$

2) $a^{-4} : a^{-12};$

3) $(a^5b^{-3}c^4)^{-10};$

4) $(\frac{a^7}{b^{-3}})^{-4} \cdot (\frac{a^{-3}}{b^9})^{-12}.$

2. Найдите значение выражения:

1) $(13^{-9})^4 \cdot (13^{-2})^{-18};$

2) $\frac{(-36)^{-3} \cdot 6^4}{216^{-4} \cdot (-6)^9};$

3) $\frac{21^5 \cdot 3^{-7}}{63^{-2} \cdot 7^8}.$

3. Выполните действия и приведите полученное выражение к виду, не содержащему степени с отрицательным показателем:

1) $5a^{-6} \cdot (-3a^{-2}b^3)^{-2};$

2) $\frac{17x^{-8}}{14y^{-12}} \cdot \frac{28y}{51x^{-21}};$

3) $(\frac{8p^{-4}}{q^{-1}})^{-2} \cdot (16p^{-6}q^3)^3.$

4. Постройте график функции $y=(x-1)(\frac{x-1}{x+2})^{-1}.$

5. Упростите выражение:

1) $(a^{-3}+2)(a^{-3}-2)-(a^{-3}+3)^2;$

2) $\frac{x^{-2}-5y^{-4}}{4x^{-1}y^{-2}+4y^{-4}} + \frac{y^{-2}}{x^{-1}+y^{-2}}.$

Решение.

1.

1) При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются по формуле $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$a^{-8} \cdot a^{12} = a^{-8+12} = a^4$.
Ответ: $a^4$.

2) При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются по формуле $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$a^{-4} : a^{-12} = a^{-4 - (-12)} = a^{-4+12} = a^8$.
Ответ: $a^8$.

3) При возведении произведения в степень, в эту степень возводится каждый множитель. При возведении степени в степень показатели перемножаются по формуле $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(a^5b^{-3}c^4)^{-10} = (a^5)^{-10}(b^{-3})^{-10}(c^4)^{-10} = a^{5 \cdot (-10)}b^{-3 \cdot (-10)}c^{4 \cdot (-10)} = a^{-50}b^{30}c^{-40}$.
Ответ: $a^{-50}b^{30}c^{-40}$.

4) Используем свойства степеней $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$, $(x^m)^n = x^{mn}$ и $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
$(\frac{a^7}{b^{-3}})^{-4} \cdot (\frac{a^{-3}}{b^9})^{-12} = \frac{(a^7)^{-4}}{(b^{-3})^{-4}} \cdot \frac{(a^{-3})^{-12}}{(b^9)^{-12}} = \frac{a^{-28}}{b^{12}} \cdot \frac{a^{36}}{b^{-108}} = \frac{a^{-28}a^{36}}{b^{12}b^{-108}} = \frac{a^{-28+36}}{b^{12-108}} = \frac{a^8}{b^{-96}} = a^8b^{96}$.
Ответ: $a^8b^{96}$.

2.

1) Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n=a^{mn}$ и свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$(13^{-9})^4 \cdot (13^{-2})^{-18} = 13^{-9 \cdot 4} \cdot 13^{-2 \cdot (-18)} = 13^{-36} \cdot 13^{36} = 13^{-36+36} = 13^0 = 1$.
Ответ: 1.

2) Представим основания степеней через число 6: $-36 = -6^2$, $216 = 6^3$.
$\frac{(-36)^{-3} \cdot 6^4}{216^{-4} \cdot (-6)^9} = \frac{(-1 \cdot 6^2)^{-3} \cdot 6^4}{(6^3)^{-4} \cdot (-1 \cdot 6)^9} = \frac{(-1)^{-3} \cdot (6^2)^{-3} \cdot 6^4}{6^{-12} \cdot (-1)^9 \cdot 6^9} = \frac{-1 \cdot 6^{-6} \cdot 6^4}{-1 \cdot 6^{-12} \cdot 6^9} = \frac{6^{-6+4}}{6^{-12+9}} = \frac{6^{-2}}{6^{-3}} = 6^{-2-(-3)} = 6^{1} = 6$.
Ответ: 6.

3) Разложим основания на простые множители: $21=3 \cdot 7$, $63 = 3^2 \cdot 7$.
$\frac{21^5 \cdot 3^{-7}}{63^{-2} \cdot 7^8} = \frac{(3 \cdot 7)^5 \cdot 3^{-7}}{(3^2 \cdot 7)^{-2} \cdot 7^8} = \frac{3^5 \cdot 7^5 \cdot 3^{-7}}{3^{-4} \cdot 7^{-2} \cdot 7^8} = \frac{3^{5-7} \cdot 7^5}{3^{-4} \cdot 7^{-2+8}} = \frac{3^{-2} \cdot 7^5}{3^{-4} \cdot 7^6} = 3^{-2-(-4)} \cdot 7^{5-6} = 3^2 \cdot 7^{-1} = 9 \cdot \frac{1}{7} = \frac{9}{7}$.
Ответ: $\frac{9}{7}$.

3.

1) Раскроем скобки и перемножим выражения, используя свойства степеней.
$5a^{-6} \cdot (-3a^{-2}b^3)^{-2} = 5a^{-6} \cdot (-3)^{-2} \cdot (a^{-2})^{-2} \cdot (b^3)^{-2} = 5a^{-6} \cdot \frac{1}{9} \cdot a^4 \cdot b^{-6} = \frac{5}{9} a^{-6+4}b^{-6} = \frac{5}{9}a^{-2}b^{-6}$.
Чтобы избавиться от отрицательных показателей, используем правило $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$\frac{5}{9}a^{-2}b^{-6} = \frac{5}{9a^2b^6}$.
Ответ: $\frac{5}{9a^2b^6}$.

2) Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные, затем упростим.
$\frac{17x^{-8}}{14y^{-12}} \cdot \frac{28y}{51x^{-21}} = \frac{17 \cdot 28}{14 \cdot 51} \cdot \frac{x^{-8}y^1}{y^{-12}x^{-21}} = (\frac{17}{51} \cdot \frac{28}{14}) \cdot (x^{-8-(-21)} \cdot y^{1-(-12)}) = (\frac{1}{3} \cdot 2) \cdot x^{13}y^{13} = \frac{2}{3}x^{13}y^{13} = \frac{2x^{13}y^{13}}{3}$.
Ответ: $\frac{2x^{13}y^{13}}{3}$.

3) Возведем каждое выражение в соответствующую степень.
$(\frac{8p^{-4}}{q^{-1}})^{-2} \cdot (16p^{-6}q^3)^3 = (\frac{8^{-2}(p^{-4})^{-2}}{(q^{-1})^{-2}}) \cdot (16^3(p^{-6})^3(q^3)^3) = (\frac{8^{-2}p^8}{q^2}) \cdot (16^3 p^{-18}q^9)$.
Перемножим результаты и упростим:
$\frac{16^3}{8^2} \cdot \frac{p^8 p^{-18}}{q^2} \cdot q^9 = \frac{(2^4)^3}{(2^3)^2} \cdot p^{8-18} \cdot q^{9-2} = \frac{2^{12}}{2^6} \cdot p^{-10}q^7 = 2^6 p^{-10}q^7 = 64p^{-10}q^7$.
Избавимся от отрицательной степени: $64p^{-10}q^7 = \frac{64q^7}{p^{10}}$.
Ответ: $\frac{64q^7}{p^{10}}$.

4.

Сначала упростим выражение для функции:
$y = (x-1) \cdot (\frac{x-1}{x+2})^{-1} = (x-1) \cdot \frac{x+2}{x-1}$.
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю, и выражение, возводимое в отрицательную степень, также не должно быть равно нулю.
1. $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
2. $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 1) \cup (1; \infty)$.
На ОДЗ мы можем сократить дробь:
$y = \frac{(x-1)(x+2)}{x-1} = x+2$.
Графиком функции является прямая $y=x+2$, но с "выколотыми" точками, соответствующими значениям $x$, не входящим в ОДЗ.
Найдем координаты этих точек:
1. При $x=1$, $y = 1+2=3$. Точка $(1, 3)$ выколота.
2. При $x=-2$, $y = -2+2=0$. Точка $(-2, 0)$ выколота.
Для построения прямой можно найти две любые другие точки, например: при $x=0, y=2$ и при $x=2, y=4$.
Ответ: Графиком функции является прямая $y=x+2$ с выколотыми точками $(1, 3)$ и $(-2, 0)$.

5.

1) Используем формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$ и формулу квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$.
$(a^{-3} + 2)(a^{-3} - 2) - (a^{-3} + 3)^2 = ((a^{-3})^2 - 2^2) - ((a^{-3})^2 + 2 \cdot a^{-3} \cdot 3 + 3^2) = (a^{-6} - 4) - (a^{-6} + 6a^{-3} + 9)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$a^{-6} - 4 - a^{-6} - 6a^{-3} - 9 = (a^{-6} - a^{-6}) - 6a^{-3} + (-4-9) = -6a^{-3} - 13$.
Ответ: $-6a^{-3} - 13$.

2) Для удобства сделаем замену: $u = x^{-1}$ и $v = y^{-2}$. Тогда $u^2 = x^{-2}$ и $v^2 = y^{-4}$.
Исходное выражение примет вид: $\frac{u^2 - 5v^2}{4uv + 4v^2} + \frac{v}{u+v}$.
Вынесем общий множитель в знаменателе первой дроби: $4uv + 4v^2 = 4v(u+v)$.
$\frac{u^2 - 5v^2}{4v(u+v)} + \frac{v}{u+v}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $4v(u+v)$:
$\frac{u^2 - 5v^2}{4v(u+v)} + \frac{v \cdot 4v}{4v(u+v)} = \frac{u^2 - 5v^2 + 4v^2}{4v(u+v)} = \frac{u^2 - v^2}{4v(u+v)}$.
Применим формулу разности квадратов в числителе: $u^2-v^2=(u-v)(u+v)$.
$\frac{(u-v)(u+v)}{4v(u+v)} = \frac{u-v}{4v}$.
Сделаем обратную замену:
$\frac{x^{-1} - y^{-2}}{4y^{-2}} = \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{y^2}}{\frac{4}{y^2}} = \frac{\frac{y^2-x}{xy^2}}{\frac{4}{y^2}} = \frac{y^2-x}{xy^2} \cdot \frac{y^2}{4} = \frac{y^2-x}{4x}$.
Ответ: $\frac{y^2-x}{4x}$.