Номер 9, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 9, страница 8.

Условие.

Самостоятельная работа № 9

Умножение и деление рациональных дробей.

Возведение рациональной дроби в степень

1. Выполните умножение:

1) $\frac{a^3b}{15c} \cdot \left(-\frac{3c}{a^2b^2}\right);$

2) $18y^3 \cdot \frac{4x^2}{9y^5};$

3) $\frac{a^{3n}b^{n+4}}{c^{n+3}} \cdot \frac{c^{2n+3}}{a^{2n}b^{n+1}}.$

2. Выполните возведение в степень:

1) $\left(-\frac{3a}{2b^2}\right)^4;$

2) $\left(-\frac{5a^3b^4}{3c^5d^7}\right)^3.$

3. Выполните деление:

1) $\frac{18m^3n^4}{25p^6q^{10}} : \left(-\frac{4m^2n^9}{75p^5q^{12}}\right);$

2) $\frac{48x^4y^3}{49z^9} : (16x^7y^8).$

4. Упростите выражение:

1) $\frac{5y^2 - 20y + 20}{y^3 - 1} \cdot \frac{3y^2 + 3y + 3}{10y - 20};$

2) $\frac{a^2 - 4b^2}{9a^2 - b^2} : \frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{9a^2 - 6ab + b^2};$

3) $\frac{(a^n + 3b^n)^2 - 12a^nb^n}{a + b} : \frac{a^{2n} - 9b^{2n}}{a^2 - b^2}.$

5. Известно, что $2x + \frac{1}{x} = 7.$ Найдите значение выражения $4x^2 + \frac{1}{x^2}.$

Решение.

1.

1) $\frac{a^3b}{15c} \cdot (-\frac{3c}{a^2b^2}) = -\frac{a^3b \cdot 3c}{15c \cdot a^2b^2}$. Сокращаем дробь: числовые коэффициенты $\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$, переменные $\frac{a^3}{a^2}=a$, $\frac{b}{b^2}=\frac{1}{b}$, $\frac{c}{c}=1$. В результате получаем $-\frac{a}{5b}$.
Ответ: $-\frac{a}{5b}$.

2) $18y^3 \cdot \frac{4x^2}{9y^5} = \frac{18y^3 \cdot 4x^2}{9y^5}$. Сокращаем дробь: $\frac{18}{9}=2$ и $\frac{y^3}{y^5}=\frac{1}{y^2}$. Получаем $\frac{2 \cdot 4x^2}{y^2} = \frac{8x^2}{y^2}$.
Ответ: $\frac{8x^2}{y^2}$.

3) $\frac{a^{3n}b^{n+4}}{c^{n+3}} \cdot \frac{c^{2n+3}}{a^{2n}b^{n+1}} = \frac{a^{3n}b^{n+4}c^{2n+3}}{c^{n+3}a^{2n}b^{n+1}}$. Используя свойство степеней $\frac{x^m}{x^k}=x^{m-k}$, получаем: $a^{3n-2n} b^{(n+4)-(n+1)} c^{(2n+3)-(n+3)} = a^n b^{n+4-n-1} c^{2n+3-n-3} = a^n b^3 c^n$.
Ответ: $a^n b^3 c^n$.

2.

1) $(-\frac{3a}{2b^2})^4$. Так как степень четная (4), знак минус исчезает. Возводим в степень каждый множитель в числителе и знаменателе: $\frac{(3a)^4}{(2b^2)^4} = \frac{3^4 a^4}{2^4 (b^2)^4} = \frac{81a^4}{16b^8}$.
Ответ: $\frac{81a^4}{16b^8}$.

2) $(-\frac{5a^3b^4}{3c^5d^7})^3$. Так как степень нечетная (3), знак минус сохраняется. Возводим в степень: $-\frac{(5a^3b^4)^3}{(3c^5d^7)^3} = -\frac{5^3 (a^3)^3 (b^4)^3}{3^3 (c^5)^3 (d^7)^3} = -\frac{125a^9b^{12}}{27c^{15}d^{21}}$.
Ответ: $-\frac{125a^9b^{12}}{27c^{15}d^{21}}$.

3.

1) $\frac{18m^3n^4}{25p^6q^{10}} : (-\frac{4m^2n^9}{75p^5q^{12}})$. Заменяем деление на умножение на обратную дробь: $\frac{18m^3n^4}{25p^6q^{10}} \cdot (-\frac{75p^5q^{12}}{4m^2n^9}) = -\frac{18 \cdot 75 \cdot m^3n^4p^5q^{12}}{25 \cdot 4 \cdot p^6q^{10}m^2n^9}$. Сокращаем коэффициенты и степени: $-\frac{9 \cdot 3}{2} m^{3-2} n^{4-9} p^{5-6} q^{12-10} = -\frac{27}{2} m n^{-5} p^{-1} q^2 = -\frac{27mq^2}{2pn^5}$.
Ответ: $-\frac{27mq^2}{2pn^5}$.

2) $\frac{48x^4y^3}{49z^9} : (16x^7y^8) = \frac{48x^4y^3}{49z^9} \cdot \frac{1}{16x^7y^8} = \frac{48x^4y^3}{49 \cdot 16 z^9x^7y^8}$. Сокращаем $\frac{48}{16}=3$ и степени: $\frac{3}{49z^9} x^{4-7} y^{3-8} = \frac{3}{49z^9} x^{-3} y^{-5} = \frac{3}{49x^3y^5z^9}$.
Ответ: $\frac{3}{49x^3y^5z^9}$.

4.

1) $\frac{5y^2 - 20y + 20}{y^3 - 1} \cdot \frac{3y^2 + 3y + 3}{10y - 20}$. Разложим числители и знаменатели на множители:
$5y^2 - 20y + 20 = 5(y^2-4y+4) = 5(y-2)^2$.
$y^3 - 1 = (y-1)(y^2+y+1)$.
$3y^2 + 3y + 3 = 3(y^2+y+1)$.
$10y - 20 = 10(y-2)$.
Подставляем и сокращаем: $\frac{5(y-2)^2}{(y-1)(y^2+y+1)} \cdot \frac{3(y^2+y+1)}{10(y-2)} = \frac{15(y-2)}{10(y-1)} = \frac{3(y-2)}{2(y-1)}$.
Ответ: $\frac{3(y-2)}{2(y-1)}$.

2) $\frac{a^2 - 4b^2}{9a^2 - b^2} : \frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{9a^2 - 6ab + b^2} = \frac{a^2 - 4b^2}{9a^2 - b^2} \cdot \frac{9a^2 - 6ab + b^2}{a^2 + 4ab + 4b^2}$.
Разложим на множители, используя формулы сокращенного умножения:
$\frac{(a-2b)(a+2b)}{(3a-b)(3a+b)} \cdot \frac{(3a-b)^2}{(a+2b)^2} = \frac{(a-2b)(3a-b)}{(3a+b)(a+2b)}$.
Ответ: $\frac{(a-2b)(3a-b)}{(a+2b)(3a+b)}$.

3) $\frac{(a^n + 3b^n)^2 - 12a^nb^n}{a+b} : \frac{a^{2n} - 9b^{2n}}{a^2-b^2} = \frac{(a^n + 3b^n)^2 - 12a^nb^n}{a+b} \cdot \frac{a^2-b^2}{a^{2n} - 9b^{2n}}$.
Упростим числитель первой дроби: $a^{2n} + 6a^nb^n + 9b^{2n} - 12a^nb^n = a^{2n} - 6a^nb^n + 9b^{2n} = (a^n-3b^n)^2$.
Разложим остальные части: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ и $a^{2n} - 9b^{2n}=(a^n-3b^n)(a^n+3b^n)$.
Подставляем и сокращаем: $\frac{(a^n-3b^n)^2}{a+b} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{(a^n-3b^n)(a^n+3b^n)} = \frac{(a^n-3b^n)(a-b)}{a^n+3b^n}$.
Ответ: $\frac{(a-b)(a^n - 3b^n)}{a^n + 3b^n}$.

5.

Дано уравнение $2x + \frac{1}{x} = 7$. Чтобы найти значение выражения $4x^2 + \frac{1}{x^2}$, возведем обе части данного уравнения в квадрат:
$(2x + \frac{1}{x})^2 = 7^2$
Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$(2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = 49$
$4x^2 + 4 + \frac{1}{x^2} = 49$
Выразим искомое выражение:
$4x^2 + \frac{1}{x^2} = 49 - 4$
$4x^2 + \frac{1}{x^2} = 45$.
Ответ: 45.