Номер 4, страница 5 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 4, страница 5.

Условие.

Самостоятельная работа № 4

Равномощные множества. Счётные множества

1. Докажите, что множество чисел вида $3^n+11$ ($n \in N$) счётно.

2. На координатной плоскости отметили точки $A(1; 0)$, $B(4; 0)$, $C(0; 2)$, $D(0; 6)$. Докажите, что множества точек отрезков $AB$ и $CD$ равномощны.

Решение.

1.

Множество называется счётным, если его элементы можно поставить во взаимно-однозначное соответствие (установить биекцию) с множеством натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$.

Рассмотрим данное множество $M = \{3^{n+11} | n \in \mathbb{N}\}$.

Чтобы доказать, что множество $M$ счётно, построим функцию $f: \mathbb{N} \to M$, которая каждому натуральному числу $n$ ставит в соответствие элемент из множества $M$ по правилу $f(n) = 3^{n+11}$. Докажем, что эта функция является биекцией.

1. Инъективность (взаимная однозначность). Функция инъективна, если разным элементам из области определения соответствуют разные элементы из области значений. Допустим, $f(n_1) = f(n_2)$ для некоторых $n_1, n_2 \in \mathbb{N}$.
Тогда $3^{n_1+11} = 3^{n_2+11}$.
Так как функция $y=3^x$ является монотонно возрастающей, равенство возможно только тогда, когда равны показатели степени:
$n_1+11 = n_2+11$
$n_1 = n_2$
Следовательно, функция $f$ инъективна.

2. Сюръективность (отображение "на"). Функция сюръективна, если для любого элемента $y$ из множества $M$ найдётся такой элемент $n$ из множества $\mathbb{N}$, что $f(n)=y$.
Возьмём произвольный элемент $y \in M$. По определению множества $M$, он имеет вид $y = 3^{k+11}$ для некоторого натурального числа $k \in \mathbb{N}$.
Нам нужно найти такое $n \in \mathbb{N}$, чтобы $f(n) = y$, то есть $3^{n+11} = 3^{k+11}$.
Отсюда следует, что $n+11 = k+11$, то есть $n=k$. Так как $k$ — натуральное число, то и $n$ — натуральное число.
Таким образом, для любого элемента из $M$ мы нашли соответствующий ему элемент из $\mathbb{N}$. Следовательно, функция $f$ сюръективна.

Поскольку функция $f$ является и инъективной, и сюръективной, она является биекцией. Это доказывает, что между множеством $\mathbb{N}$ и множеством $M$ существует взаимно-однозначное соответствие. Значит, множество $M$ равномощно множеству натуральных чисел, а следовательно, оно счётно.

Ответ: Множество чисел вида $3^{n+11}$ $(n \in \mathbb{N})$ счётно, так как оно равномощно множеству натуральных чисел.

2.

Два множества называются равномощными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекцию).

Множество точек отрезка $AB$ с концами в точках $A(1; 0)$ и $B(4; 0)$ можно описать как $S_{AB} = \{(x, 0) | x \in [1, 4]\}$. Каждая точка этого отрезка однозначно определяется своей координатой $x$ из отрезка $[1, 4]$.

Множество точек отрезка $CD$ с концами в точках $C(0; 2)$ и $D(0; 6)$ можно описать как $S_{CD} = \{(0, y) | y \in [2, 6]\}$. Каждая точка этого отрезка однозначно определяется своей координатой $y$ из отрезка $[2, 6]$.

Чтобы доказать равномощность множеств $S_{AB}$ и $S_{CD}$, достаточно установить биекцию между числовыми отрезками $[1, 4]$ и $[2, 6]$. Построим линейную функцию $y = f(x) = kx+b$, которая будет отображать отрезок $[1, 4]$ на отрезок $[2, 6]$. Для этого потребуем, чтобы концам одного отрезка соответствовали концы другого: $f(1) = 2$ и $f(4) = 6$.

Получаем систему линейных уравнений для нахождения коэффициентов $k$ и $b$: $k \cdot 1 + b = 2$ и $k \cdot 4 + b = 6$.
Вычтем из второго уравнения первое:
$(4k+b) - (k+b) = 6 - 2$
$3k = 4 \implies k = \frac{4}{3}$
Подставим найденное значение $k$ в первое уравнение:
$\frac{4}{3} + b = 2 \implies b = 2 - \frac{4}{3} = \frac{6-4}{3} = \frac{2}{3}$

Таким образом, мы получили функцию $f(x) = \frac{4}{3}x + \frac{2}{3}$. Эта функция является линейной с положительным угловым коэффициентом ($k > 0$), поэтому она монотонно возрастает на всей числовой оси. Это гарантирует, что она устанавливает взаимно-однозначное соответствие между отрезком $[1, 4]$ и отрезком $[f(1), f(4)] = [2, 6]$.

Теперь мы можем определить биекцию $F$ между множествами точек отрезков $AB$ и $CD$. Каждой точке $P(x, 0)$ из отрезка $AB$ поставим в соответствие точку $Q(0, y)$ из отрезка $CD$, где $y$ вычисляется по найденной формуле: $y = f(x)$.

Итак, искомая биекция $F: S_{AB} \to S_{CD}$ задается правилом:
$F((x, 0)) = (0, \frac{4}{3}x + \frac{2}{3})$

Поскольку функция $f(x)$ является биекцией между отрезками $[1, 4]$ и $[2, 6]$, то и функция $F$ является биекцией между множествами точек отрезков $AB$ и $CD$. Следовательно, эти множества равномощны.

Ответ: Множества точек отрезков $AB$ и $CD$ равномощны, так как между ними можно установить биекцию.