Номер 5, страница 5 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Самостоятельные и контрольные работы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2015 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: красный
ISBN: 978-5-360-08298-9
Популярные ГДЗ в 8 классе
Вариант 1. Самостоятельные работы - номер 5, страница 5.
№5 (с. 5)
Условие. №5 (с. 5)
скриншот условия


Самостоятельная работа № 5
Рациональные дроби
1. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:
1) $ \frac{5+x}{3+x} $;
2) $ \frac{4}{|x|-1} $;
3) $ \frac{4}{x-1} + \frac{7x}{x-4} $;
4) $ \frac{1}{1+\frac{1}{x}} $ ?
2. Запишите рациональную дробь, содержащую переменную $ x $, допустимыми значениями которой являются все числа, кроме $ -10, -8 $ и $ 1 $.
3. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной $ a $ значение дроби:
1) $ \frac{a^2 + 6a + 10}{a^2 - 10a + 25} $ положительное;
2) $ \frac{4a - 4 - a^2}{a^4 + 1} $ неположительное.
4. Известно, что $ 3x + 9y = 2 $. Найдите значение выражения:
1) $ \frac{5}{2x + 6y} $;
2) $ \frac{4}{9y^2 + 6xy + x^2} $.
Решение. №5 (с. 5)
1.
1) Выражение $\frac{5+x}{3+x}$ имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.
Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль:
$3 + x = 0$
$x = -3$
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x = -3$.
Ответ: $x \neq -3$.
2) Выражение $\frac{4}{|x|-1}$ имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:
$|x| - 1 = 0$
$|x| = 1$
$x = 1$ или $x = -1$
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x = 1$ и $x = -1$.
Ответ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
3) Выражение $\frac{4}{x-1} + \frac{7x}{x-4}$ является суммой двух дробей. Оно имеет смысл, когда знаменатели обеих дробей не равны нулю.
Для первой дроби: $x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.
Для второй дроби: $x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$.
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x = 1$ и $x = 4$.
Ответ: $x \neq 1$ и $x \neq 4$.
4) Выражение $\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$ является сложной дробью. Оно имеет смысл, когда знаменатель внутренней дроби и знаменатель основной дроби не равны нулю.
Знаменатель внутренней дроби $\frac{1}{x}$ не должен быть равен нулю: $x \neq 0$.
Знаменатель основной дроби не должен быть равен нулю:
$1 + \frac{1}{x} \neq 0$
$\frac{1}{x} \neq -1$
$x \neq -1$
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x = 0$ и $x = -1$.
Ответ: $x \neq 0$ и $x \neq -1$.
2.
Рациональная дробь не определена, когда ее знаменатель равен нулю. По условию, допустимыми значениями переменной $x$ являются все числа, кроме -10, -8 и 1. Это означает, что знаменатель дроби должен обращаться в ноль при $x=-10$, $x=-8$ и $x=1$.
Следовательно, множителями знаменателя должны быть $(x - (-10))$, $(x - (-8))$ и $(x - 1)$, то есть $(x+10)$, $(x+8)$ и $(x-1)$.
В качестве числителя можно взять любое число, не равное нулю, например, 1. Тогда искомая дробь может иметь вид:
$\frac{1}{(x+10)(x+8)(x-1)}$
Ответ: $\frac{1}{(x+10)(x+8)(x-1)}$.
3.
1) Рассмотрим дробь $\frac{a^2 + 6a + 10}{a^2 - 10a + 25}$.
Сначала определим допустимые значения переменной $a$. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$a^2 - 10a + 25 \neq 0$
$(a-5)^2 \neq 0$
$a \neq 5$
Теперь проанализируем знак числителя и знаменателя при $a \neq 5$.
Знаменатель: $a^2 - 10a + 25 = (a-5)^2$. Так как квадрат любого действительного числа (отличного от нуля) положителен, то при $a \neq 5$ знаменатель $(a-5)^2 > 0$.
Числитель: $a^2 + 6a + 10$. Выделим полный квадрат:
$a^2 + 6a + 10 = (a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 10 = (a+3)^2 - 9 + 10 = (a+3)^2 + 1$.
Выражение $(a+3)^2 \ge 0$ для любого $a$. Следовательно, $(a+3)^2 + 1 \ge 1$, то есть числитель всегда положителен.
Дробь является отношением положительного числителя к положительному знаменателю (при всех допустимых $a$), следовательно, значение дроби всегда положительно.
Ответ: Доказано, что выражение положительно при всех допустимых значениях $a$.
2) Рассмотрим дробь $\frac{4a - 4 - a^2}{a^4 + 1}$.
Определим допустимые значения переменной $a$. Знаменатель $a^4 + 1$. Так как $a^4 \ge 0$ для любого $a$, то $a^4 + 1 \ge 1$. Знаменатель никогда не равен нулю, он всегда положителен. Следовательно, допустимыми являются все действительные значения $a$.
Проанализируем знак числителя:
$4a - 4 - a^2 = -(a^2 - 4a + 4)$.
Выражение в скобках является полным квадратом: $a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$.
Таким образом, числитель равен $-(a-2)^2$.
Выражение $(a-2)^2 \ge 0$ для любого $a$. Следовательно, числитель $-(a-2)^2 \le 0$ для любого $a$.
Дробь является отношением неположительного числителя ($\le 0$) к положительному знаменателю ($> 0$). Такое отношение всегда будет неположительным ($\le 0$).
Ответ: Доказано, что выражение неположительно при всех допустимых значениях $a$.
4.
Дано, что $3x + 9y = 2$. Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$3(x + 3y) = 2$
Отсюда находим значение выражения $x+3y$:
$x + 3y = \frac{2}{3}$
1) Найдем значение выражения $\frac{5}{2x + 6y}$.
Преобразуем знаменатель, вынеся за скобки 2:
$2x + 6y = 2(x + 3y)$
Подставим известное значение $x+3y = \frac{2}{3}$:
$2(x + 3y) = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$
Теперь найдем значение всей дроби:
$\frac{5}{2x + 6y} = \frac{5}{\frac{4}{3}} = 5 \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{4}$
Ответ: $\frac{15}{4}$.
2) Найдем значение выражения $\frac{4}{9y^2 + 6xy + x^2}$.
Знаменатель $9y^2 + 6xy + x^2$ представляет собой полный квадрат суммы. Перепишем его в стандартном виде:
$x^2 + 6xy + 9y^2 = (x)^2 + 2 \cdot x \cdot (3y) + (3y)^2 = (x + 3y)^2$
Подставим известное значение $x+3y = \frac{2}{3}$:
$(x + 3y)^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$
Теперь найдем значение всей дроби:
$\frac{4}{9y^2 + 6xy + x^2} = \frac{4}{\frac{4}{9}} = 4 \cdot \frac{9}{4} = 9$
Ответ: $9$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 5 расположенного на странице 5 к самостоятельным и контрольным работам серии алгоритм успеха 2015 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5 (с. 5), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.