Номер 5, страница 5 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 5, страница 5.

Условие.

Самостоятельная работа № 5

Рациональные дроби

1. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $ \frac{5+x}{3+x} $;

2) $ \frac{4}{|x|-1} $;

3) $ \frac{4}{x-1} + \frac{7x}{x-4} $;

4) $ \frac{1}{1+\frac{1}{x}} $ ?

2. Запишите рациональную дробь, содержащую переменную $ x $, допустимыми значениями которой являются все числа, кроме $ -10, -8 $ и $ 1 $.

3. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной $ a $ значение дроби:

1) $ \frac{a^2 + 6a + 10}{a^2 - 10a + 25} $ положительное;

2) $ \frac{4a - 4 - a^2}{a^4 + 1} $ неположительное.

4. Известно, что $ 3x + 9y = 2 $. Найдите значение выражения:

1) $ \frac{5}{2x + 6y} $;

2) $ \frac{4}{9y^2 + 6xy + x^2} $.

Решение.

1.

1) Выражение $\frac{5+x}{3+x}$ имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.

Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль:
$3 + x = 0$
$x = -3$

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x = -3$.

Ответ: $x \neq -3$.

2) Выражение $\frac{4}{|x|-1}$ имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:
$|x| - 1 = 0$
$|x| = 1$
$x = 1$ или $x = -1$

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x = 1$ и $x = -1$.

Ответ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

3) Выражение $\frac{4}{x-1} + \frac{7x}{x-4}$ является суммой двух дробей. Оно имеет смысл, когда знаменатели обеих дробей не равны нулю.

Для первой дроби: $x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.
Для второй дроби: $x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$.

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x = 1$ и $x = 4$.

Ответ: $x \neq 1$ и $x \neq 4$.

4) Выражение $\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$ является сложной дробью. Оно имеет смысл, когда знаменатель внутренней дроби и знаменатель основной дроби не равны нулю.

Знаменатель внутренней дроби $\frac{1}{x}$ не должен быть равен нулю: $x \neq 0$.

Знаменатель основной дроби не должен быть равен нулю:
$1 + \frac{1}{x} \neq 0$
$\frac{1}{x} \neq -1$
$x \neq -1$

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x = 0$ и $x = -1$.

Ответ: $x \neq 0$ и $x \neq -1$.

2.

Рациональная дробь не определена, когда ее знаменатель равен нулю. По условию, допустимыми значениями переменной $x$ являются все числа, кроме -10, -8 и 1. Это означает, что знаменатель дроби должен обращаться в ноль при $x=-10$, $x=-8$ и $x=1$.

Следовательно, множителями знаменателя должны быть $(x - (-10))$, $(x - (-8))$ и $(x - 1)$, то есть $(x+10)$, $(x+8)$ и $(x-1)$.

В качестве числителя можно взять любое число, не равное нулю, например, 1. Тогда искомая дробь может иметь вид:

$\frac{1}{(x+10)(x+8)(x-1)}$

Ответ: $\frac{1}{(x+10)(x+8)(x-1)}$.

3.

1) Рассмотрим дробь $\frac{a^2 + 6a + 10}{a^2 - 10a + 25}$.

Сначала определим допустимые значения переменной $a$. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$a^2 - 10a + 25 \neq 0$
$(a-5)^2 \neq 0$
$a \neq 5$

Теперь проанализируем знак числителя и знаменателя при $a \neq 5$.
Знаменатель: $a^2 - 10a + 25 = (a-5)^2$. Так как квадрат любого действительного числа (отличного от нуля) положителен, то при $a \neq 5$ знаменатель $(a-5)^2 > 0$.

Числитель: $a^2 + 6a + 10$. Выделим полный квадрат:
$a^2 + 6a + 10 = (a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 10 = (a+3)^2 - 9 + 10 = (a+3)^2 + 1$.
Выражение $(a+3)^2 \ge 0$ для любого $a$. Следовательно, $(a+3)^2 + 1 \ge 1$, то есть числитель всегда положителен.

Дробь является отношением положительного числителя к положительному знаменателю (при всех допустимых $a$), следовательно, значение дроби всегда положительно.

Ответ: Доказано, что выражение положительно при всех допустимых значениях $a$.

2) Рассмотрим дробь $\frac{4a - 4 - a^2}{a^4 + 1}$.

Определим допустимые значения переменной $a$. Знаменатель $a^4 + 1$. Так как $a^4 \ge 0$ для любого $a$, то $a^4 + 1 \ge 1$. Знаменатель никогда не равен нулю, он всегда положителен. Следовательно, допустимыми являются все действительные значения $a$.

Проанализируем знак числителя:
$4a - 4 - a^2 = -(a^2 - 4a + 4)$.
Выражение в скобках является полным квадратом: $a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$.
Таким образом, числитель равен $-(a-2)^2$.

Выражение $(a-2)^2 \ge 0$ для любого $a$. Следовательно, числитель $-(a-2)^2 \le 0$ для любого $a$.

Дробь является отношением неположительного числителя ($\le 0$) к положительному знаменателю ($> 0$). Такое отношение всегда будет неположительным ($\le 0$).

Ответ: Доказано, что выражение неположительно при всех допустимых значениях $a$.

4.

Дано, что $3x + 9y = 2$. Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$3(x + 3y) = 2$

Отсюда находим значение выражения $x+3y$:

$x + 3y = \frac{2}{3}$

1) Найдем значение выражения $\frac{5}{2x + 6y}$.

Преобразуем знаменатель, вынеся за скобки 2:
$2x + 6y = 2(x + 3y)$

Подставим известное значение $x+3y = \frac{2}{3}$:
$2(x + 3y) = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

Теперь найдем значение всей дроби:
$\frac{5}{2x + 6y} = \frac{5}{\frac{4}{3}} = 5 \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{4}$

Ответ: $\frac{15}{4}$.

2) Найдем значение выражения $\frac{4}{9y^2 + 6xy + x^2}$.

Знаменатель $9y^2 + 6xy + x^2$ представляет собой полный квадрат суммы. Перепишем его в стандартном виде:
$x^2 + 6xy + 9y^2 = (x)^2 + 2 \cdot x \cdot (3y) + (3y)^2 = (x + 3y)^2$

Подставим известное значение $x+3y = \frac{2}{3}$:
$(x + 3y)^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$

Теперь найдем значение всей дроби:
$\frac{4}{9y^2 + 6xy + x^2} = \frac{4}{\frac{4}{9}} = 4 \cdot \frac{9}{4} = 9$

Ответ: $9$.