Номер 6, страница 6 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 6, страница 6.

Условие.

Самостоятельная работа № 6

Основное свойство рациональной дроби

1. Сократите дробь:

1) $ \frac{6x^2 - 3x}{4 - 8x} $;

2) $ \frac{m^2 - 16}{m^2 + 8m + 16} $;

3) $ \frac{b^5 - b^3}{b^2 - b^4} $;

4) $ \frac{a^3 - 27}{8a - 24} $;

5) $ \frac{ax - ay - 3x + 3y}{a^2 - 9} $;

6) $ \frac{(5x - 10y)^2}{2y - x} $.

2. Запишите в виде дробей с одинаковыми знаменателями дроби:

1) $ \frac{5}{6xy^2} $ и $ \frac{1}{3x^3} $;

2) $ \frac{4y}{x + 3y} $ и $ \frac{3x}{2x - y} $;

3) $ \frac{2x}{2x - y} $, $ \frac{1}{4x^2 - y^2} $ и $ \frac{3}{4x^2 - 4xy + y^2} $.

3. Постройте график функции $ y = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2} $.

4. Решите уравнение $ \frac{x^2 - 9}{x - 3} = 6 $.

Решение.

1. Сократите дробь:

1) $ \frac{6x^2 - 3x}{4 - 8x} $

Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем за скобки общий множитель $3x$, а в знаменателе $4$, а затем $-1$, чтобы получить одинаковые скобки.
Числитель: $ 6x^2 - 3x = 3x(2x - 1) $
Знаменатель: $ 4 - 8x = 4(1 - 2x) = -4(2x - 1) $
Подставим разложения в дробь:
$ \frac{3x(2x - 1)}{-4(2x - 1)} $
Сократим общий множитель $(2x - 1)$, при условии, что $2x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq \frac{1}{2}$.
$ \frac{3x}{-4} = -\frac{3x}{4} $
Ответ: $ -\frac{3x}{4} $.

2) $ \frac{m^2 - 16}{m^2 + 8m + 16} $

Разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения.
Числитель (разность квадратов): $ m^2 - 16 = (m - 4)(m + 4) $
Знаменатель (квадрат суммы): $ m^2 + 8m + 16 = (m + 4)^2 $
Подставим разложения в дробь:
$ \frac{(m - 4)(m + 4)}{(m + 4)^2} $
Сократим общий множитель $(m + 4)$, при условии, что $m + 4 \neq 0$, то есть $m \neq -4$.
$ \frac{m - 4}{m + 4} $
Ответ: $ \frac{m - 4}{m + 4} $.

3) $ \frac{b^5 - b^3}{b^2 - b^4} $

Разложим числитель и знаменатель на множители, вынося общий множитель за скобки.
Числитель: $ b^5 - b^3 = b^3(b^2 - 1) $
Знаменатель: $ b^2 - b^4 = b^2(1 - b^2) = -b^2(b^2 - 1) $
Подставим разложения в дробь:
$ \frac{b^3(b^2 - 1)}{-b^2(b^2 - 1)} $
Сократим общие множители $b^2$ и $(b^2 - 1)$, при условии, что $b \neq 0$ и $b^2 - 1 \neq 0$ (т.е. $b \neq \pm 1$).
$ \frac{b^3}{-b^2} = -b $
Ответ: $ -b $.

4) $ \frac{a^3 - 27}{8a - 24} $

Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель (разность кубов): $ a^3 - 27 = a^3 - 3^3 = (a - 3)(a^2 + 3a + 9) $
Знаменатель (вынесение общего множителя): $ 8a - 24 = 8(a - 3) $
Подставим разложения в дробь:
$ \frac{(a - 3)(a^2 + 3a + 9)}{8(a - 3)} $
Сократим общий множитель $(a - 3)$, при условии, что $a - 3 \neq 0$, то есть $a \neq 3$.
$ \frac{a^2 + 3a + 9}{8} $
Ответ: $ \frac{a^2 + 3a + 9}{8} $.

5) $ \frac{ax - ay - 3x + 3y}{a^2 - 9} $

Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель (методом группировки): $ (ax - ay) - (3x - 3y) = a(x - y) - 3(x - y) = (a - 3)(x - y) $
Знаменатель (разность квадратов): $ a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3) $
Подставим разложения в дробь:
$ \frac{(a - 3)(x - y)}{(a - 3)(a + 3)} $
Сократим общий множитель $(a - 3)$, при условии, что $a - 3 \neq 0$, то есть $a \neq 3$.
$ \frac{x - y}{a + 3} $
Ответ: $ \frac{x - y}{a + 3} $.

6) $ \frac{(5x - 10y)^2}{2y - x} $

Преобразуем числитель и знаменатель.
В числителе вынесем общий множитель 5 из скобки: $ (5x - 10y)^2 = (5(x - 2y))^2 = 25(x - 2y)^2 $
В знаменателе вынесем -1 за скобки: $ 2y - x = -(x - 2y) $
Подставим преобразования в дробь:
$ \frac{25(x - 2y)^2}{-(x - 2y)} $
Сократим общий множитель $(x - 2y)$, при условии, что $x - 2y \neq 0$.
$ -25(x - 2y) = 25(2y - x) $
Ответ: $ 25(2y - x) $.

2. Запишите в виде дробей с одинаковыми знаменателями дроби:

1) $ \frac{5}{6xy^2} $ и $ \frac{1}{3x^3} $

Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для $6xy^2$ и $3x^3$.
НОЗ для коэффициентов 6 и 3 равен 6.
НОЗ для переменных $x$ и $x^3$ равен $x^3$.
НОЗ для переменных $y^2$ и 1 равен $y^2$.
Таким образом, общий знаменатель равен $6x^3y^2$.
Приведем первую дробь к общему знаменателю (дополнительный множитель $x^2$):
$ \frac{5}{6xy^2} = \frac{5 \cdot x^2}{6xy^2 \cdot x^2} = \frac{5x^2}{6x^3y^2} $
Приведем вторую дробь к общему знаменателю (дополнительный множитель $2y^2$):
$ \frac{1}{3x^3} = \frac{1 \cdot 2y^2}{3x^3 \cdot 2y^2} = \frac{2y^2}{6x^3y^2} $
Ответ: $ \frac{5x^2}{6x^3y^2} $ и $ \frac{2y^2}{6x^3y^2} $.

2) $ \frac{4y}{x + 3y} $ и $ \frac{3x}{2x - y} $

Знаменатели $x + 3y$ и $2x - y$ не имеют общих множителей, поэтому общий знаменатель равен их произведению: $(x + 3y)(2x - y)$.
Приведем первую дробь к общему знаменателю (дополнительный множитель $2x - y$):
$ \frac{4y}{x + 3y} = \frac{4y(2x - y)}{(x + 3y)(2x - y)} = \frac{8xy - 4y^2}{(x + 3y)(2x - y)} $
Приведем вторую дробь к общему знаменателю (дополнительный множитель $x + 3y$):
$ \frac{3x}{2x - y} = \frac{3x(x + 3y)}{(2x - y)(x + 3y)} = \frac{3x^2 + 9xy}{(x + 3y)(2x - y)} $
Ответ: $ \frac{8xy - 4y^2}{(x + 3y)(2x - y)} $ и $ \frac{3x^2 + 9xy}{(x + 3y)(2x - y)} $.

3) $ \frac{2x}{2x - y} $, $ \frac{1}{4x^2 - y^2} $ и $ \frac{3}{4x^2 - 4xy + y^2} $

Сначала разложим знаменатели на множители:
$ 2x - y $
$ 4x^2 - y^2 = (2x - y)(2x + y) $
$ 4x^2 - 4xy + y^2 = (2x - y)^2 $
Наименьший общий знаменатель равен $(2x - y)^2(2x + y)$.
Приведем каждую дробь к этому знаменателю:
Для первой дроби дополнительный множитель $(2x - y)(2x + y)$:
$ \frac{2x}{2x - y} = \frac{2x(2x - y)(2x + y)}{(2x - y)^2(2x + y)} = \frac{2x(4x^2 - y^2)}{(2x - y)^2(2x + y)} = \frac{8x^3 - 2xy^2}{(2x - y)^2(2x + y)} $
Для второй дроби дополнительный множитель $(2x - y)$:
$ \frac{1}{(2x - y)(2x + y)} = \frac{1 \cdot (2x - y)}{(2x - y)(2x + y)(2x - y)} = \frac{2x - y}{(2x - y)^2(2x + y)} $
Для третьей дроби дополнительный множитель $(2x + y)$:
$ \frac{3}{(2x - y)^2} = \frac{3(2x + y)}{(2x - y)^2(2x + y)} = \frac{6x + 3y}{(2x - y)^2(2x + y)} $
Ответ: $ \frac{8x^3 - 2xy^2}{(2x - y)^2(2x + y)} $, $ \frac{2x - y}{(2x - y)^2(2x + y)} $ и $ \frac{6x + 3y}{(2x - y)^2(2x + y)} $.

3. Постройте график функции $ y = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2} $

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x - 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.
Теперь упростим выражение для функции. Числитель является полным квадратом:
$ x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 $
Тогда функция принимает вид:
$ y = \frac{(x - 2)^2}{x - 2} $
Так как $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на $(x - 2)$:
$ y = x - 2 $
Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком прямой $y = x - 2$ за исключением точки, где $x = 2$.
Найдем координаты этой "выколотой" точки. Подставим $x = 2$ в уравнение прямой: $y = 2 - 2 = 0$.
Координаты выколотой точки — $(2, 0)$.
Для построения графика нужно начертить прямую $y = x - 2$ и отметить на ней точку $(2, 0)$ пустым кружком.
Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 2$ с выколотой точкой $(2, 0)$.

4. Решите уравнение $ \frac{x^2 - 9}{x - 3} = 6 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x - 3 \neq 0$, откуда $x \neq 3$.
Упростим левую часть уравнения, разложив числитель на множители по формуле разности квадратов:
$ \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = 6 $
Так как $x \neq 3$, мы можем сократить дробь на $(x - 3)$:
$ x + 3 = 6 $
Решим полученное линейное уравнение:
$ x = 6 - 3 $
$ x = 3 $
Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Мы получили $x = 3$, но наше условие ОДЗ — $x \neq 3$.
Следовательно, найденное значение $x=3$ не является корнем исходного уравнения.
Ответ: Корней нет.