Номер 15, страница 11 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Самостоятельные работы - номер 15, страница 11.

Условие.

Самостоятельная работа № 15

Функция $y = \frac{k}{x}$ и её график

1. Дана функция $y = -\frac{48}{x}$. Найдите:

1) значение функции, если значение аргумента равно -3;

2) значение аргумента, при котором значение функции равно 12.

2. Найдите значение $k$, при котором график функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку $A(-5; 8)$.

3. Постройте в одной системе координат графики функций $y = \frac{6}{x}$ и $y = x+5$ и запишите координаты точек их пересечения.

4. Постройте график функции:

1) $y = \frac{7}{|x|}$;

2) $y = \begin{cases} -\frac{8}{x}, & \text{если } x \le -1, \\ 7-x, & \text{если } x > -1; \end{cases}$

3) $y = \frac{9x - 27}{x^2 - 3x}$.

5. Постройте график уравнения:

1) $(xy - 2)(x - 1) = 0$;

2) $\frac{xy - 2}{x - 1} = 0$.

Решение.

1) Дана функция $y = -\frac{48}{x}$. Если значение аргумента $x = -3$, то значение функции равно $y = -\frac{48}{-3} = 16$.
Ответ: 16.

2) Дана функция $y = -\frac{48}{x}$. Если значение функции $y = 12$, то получаем уравнение $12 = -\frac{48}{x}$. Из него находим значение аргумента $x$: $12x = -48$, следовательно, $x = \frac{-48}{12} = -4$.
Ответ: -4.

2. График функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку $A(-5; 8)$. Это означает, что при подстановке координат точки в уравнение функции мы получим верное равенство. Подставим $x = -5$ и $y = 8$ в уравнение: $8 = \frac{k}{-5}$. Отсюда находим $k$: $k = 8 \cdot (-5) = -40$.
Ответ: $k = -40$.

3. Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций $y = \frac{6}{x}$ и $y = x + 5$, нужно решить систему уравнений, приравняв их правые части: $\frac{6}{x} = x + 5$.
Предполагая, что $x \neq 0$, умножим обе части уравнения на $x$:
$6 = x(x + 5)$
$6 = x^2 + 5x$
$x^2 + 5x - 6 = 0$
Это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = -6$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$:
Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 1 + 5 = 6$. Первая точка пересечения: $(1, 6)$.
Если $x_2 = -6$, то $y_2 = -6 + 5 = -1$. Вторая точка пересечения: $(-6, -1)$.
Для построения графиков: $y = \frac{6}{x}$ — это гипербола с ветвями в I и III четвертях. $y = x + 5$ — это прямая, проходящая, например, через точки $(0, 5)$ и $(-5, 0)$.
Ответ: $(1, 6)$, $(-6, -1)$.

4.

1) График функции $y = \frac{7}{|x|}$.
Область определения: $x \neq 0$. Поскольку $|x| > 0$ для всех $x$ из области определения, $y$ всегда будет положительным. Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{7}{|-x|} = \frac{7}{|x|} = y(x)$, поэтому её график симметричен относительно оси OY.
При $x > 0$, $|x| = x$, и функция имеет вид $y = \frac{7}{x}$. Это ветвь гиперболы в I координатной четверти.
При $x < 0$, $|x| = -x$, и функция имеет вид $y = \frac{7}{-x} = -\frac{7}{x}$. Это ветвь гиперболы во II координатной четверти.
Ответ: График функции состоит из двух ветвей: ветви гиперболы $y = \frac{7}{x}$ в I четверти и ветви гиперболы $y = -\frac{7}{x}$ во II четверти. График симметричен относительно оси OY.

2) График функции $y = \begin{cases} -\frac{8}{x}, & \text{если } x \le -1 \\ 7-x, & \text{если } x > -1 \end{cases}$.
График состоит из двух частей.
Для $x \le -1$ строим график $y = -\frac{8}{x}$. Это часть ветви гиперболы, расположенной во II четверти. Крайняя точка этого участка при $x=-1$ имеет координаты $y = -\frac{8}{-1} = 8$. Точка $(-1, 8)$ принадлежит графику.
Для $x > -1$ строим график $y = 7-x$. Это луч. Начальная точка луча (выколотая) соответствует $x=-1$, $y=7-(-1)=8$. Координаты $(-1, 8)$. Так как эта точка принадлежит первой части графика, функция непрерывна в точке $x=-1$. Для построения луча можно взять точку $(0, 7)$.
Ответ: График состоит из части гиперболы $y = -\frac{8}{x}$ для $x \le -1$ и луча $y = 7-x$ для $x > -1$. Части графика соединяются в точке $(-1, 8)$.

3) График функции $y = \frac{9x-27}{x^2-3x}$.
Сначала найдем область определения: знаменатель не может быть равен нулю, $x^2-3x \neq 0 \implies x(x-3) \neq 0$, откуда $x \neq 0$ и $x \neq 3$.
Упростим выражение, разложив числитель и знаменатель на множители: $y = \frac{9(x-3)}{x(x-3)}$.
При $x \neq 3$ мы можем сократить дробь на $(x-3)$, получив $y = \frac{9}{x}$.
Таким образом, график исходной функции — это гипербола $y = \frac{9}{x}$ с выколотой точкой при $x=3$.
Найдем координаты выколотой точки: $y = \frac{9}{3} = 3$. Точка $(3, 3)$.
Ответ: График функции — гипербола $y = \frac{9}{x}$ с выколотой точкой $(3, 3)$.

5.

1) График уравнения $(xy - 2)(x - 1) = 0$.
Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
1) $xy - 2 = 0 \implies xy = 2 \implies y = \frac{2}{x}$. Это гипербола с ветвями в I и III четвертях.
2) $x - 1 = 0 \implies x = 1$. Это вертикальная прямая.
Ответ: График уравнения является объединением гиперболы $y = \frac{2}{x}$ и вертикальной прямой $x = 1$.

2) График уравнения $\frac{xy - 2}{x - 1} = 0$.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Это равносильно системе:
$\begin{cases} xy - 2 = 0 \\ x - 1 \neq 0 \end{cases}$
Из первого уравнения получаем $y = \frac{2}{x}$. Это гипербола.
Из второго условия получаем $x \neq 1$.
Следовательно, график уравнения — это гипербола $y = \frac{2}{x}$, из которой исключена точка, где $x=1$.
Найдем координаты этой точки: при $x=1$, $y = \frac{2}{1} = 2$. Точка $(1, 2)$ выколота.
Ответ: График уравнения является гиперболой $y = \frac{2}{x}$ с выколотой точкой $(1, 2)$.