Номер 20, страница 13 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 20, страница 13.

Условие.

Самостоятельная работа № 20

Простые и составные числа

1. Найдите все натуральные значения $n$, при которых числа $n$ и $n + 11$ являются простыми.

2. Найдите все натуральные значения $n$, при которых значение выражения $n^2 + 2n - 35$ является простым числом.

3. Укажите все нечётные значения $n$, при которых значение выражения $6^n + 1$ является составным числом.

4. Натуральное число $n$ таково, что числа $n - 2$ и $n + 14$ делятся нацело на простое число $p$. Найдите число $p$.

Решение.

1. Мы ищем все натуральные значения $n$, при которых и $n$, и $n+11$ являются простыми числами. Простые числа — это натуральные числа больше 1, которые делятся только на 1 и на самих себя. Единственное чётное простое число — это 2.

Рассмотрим два возможных случая для $n$:

Случай 1: $n$ — чётное простое число.
Единственное такое число — это $n=2$. Проверим его:
Если $n=2$, то $n$ является простым числом.
Число $n+11 = 2+11 = 13$. 13 также является простым числом.
Следовательно, $n=2$ является решением.

Случай 2: $n$ — нечётное простое число.
Любое нечётное простое число $n$ больше или равно 3.
Если $n$ — нечётное, то число $n+11$ будет суммой двух нечётных чисел (поскольку 11 тоже нечётное). Сумма двух нечётных чисел всегда является чётным числом.
Так как $n \ge 3$, то $n+11 \ge 3+11=14$.
Таким образом, $n+11$ — это чётное число, большее 2. Любое чётное число, большее 2, является составным (т.к. оно делится на 2). Значит, $n+11$ не может быть простым.
Следовательно, в этом случае решений нет.

Единственное значение $n$, удовлетворяющее условию, это $n=2$.

Ответ: 2.

2. Найдём все натуральные значения $n$, при которых выражение $n^2 + 2n - 35$ является простым числом. Сначала разложим данное квадратное выражение на множители. Для этого решим уравнение $n^2 + 2n - 35 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а их произведение равно -35. Корни равны $n_1 = 5$ и $n_2 = -7$. Тогда выражение можно представить в виде: $n^2 + 2n - 35 = (n-5)(n+7)$.

По условию, это выражение должно быть равно некоторому простому числу $p$:$(n-5)(n+7) = p$. Поскольку $p$ — простое число, оно имеет только два натуральных делителя: 1 и само $p$. Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то множитель $(n+7)$ будет натуральным числом, большим или равным $1+7=8$. Поскольку произведение $(n-5)(n+7)$ положительно (простое число $p>0$), и $(n+7)>0$, то и множитель $(n-5)$ должен быть положительным, то есть $n-5 > 0$, откуда $n > 5$.

Так как $n+7 > n-5$, то для того, чтобы их произведение было простым числом $p$, меньший множитель должен быть равен 1, а больший — самому числу $p$.$n-5 = 1$$n+7 = p$

Из первого уравнения находим $n$:$n = 1+5 = 6$. Это натуральное число, и оно удовлетворяет условию $n>5$. Теперь подставим найденное значение $n$ во второе уравнение, чтобы найти $p$:$p = 6+7 = 13$. Число 13 является простым. Таким образом, при $n=6$ исходное выражение равно 13, что является простым числом.

Ответ: 6.

3. Укажем все нечётные натуральные значения $n$, при которых значение выражения $6^n + 1$ является составным числом. Для нечётных натуральных $n$ существует формула разложения суммы степеней:$a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - \dots + b^{n-1})$. Применим эту формулу к выражению $6^n + 1$, представив его как $6^n + 1^n$ (где $a=6, b=1$):$6^n + 1 = (6+1)(6^{n-1} - 6^{n-2} \cdot 1 + \dots + 1^{n-1}) = 7 \cdot (6^{n-1} - 6^{n-2} + \dots - 6 + 1)$.

Из этого разложения следует, что число $6^n + 1$ всегда делится на 7 при любом нечётном $n$. Число является составным, если оно равно произведению двух натуральных чисел, каждое из которых больше 1.

Рассмотрим значение выражения при наименьшем нечётном натуральном $n=1$:$6^1 + 1 = 7$. Число 7 является простым, а не составным. Следовательно, $n=1$ не является решением.

Теперь рассмотрим любое нечётное натуральное $n > 1$ (т.е. $n \ge 3$). В этом случае $6^n + 1 > 6^1 + 1 = 7$. Поскольку число $6^n + 1$ делится на 7 и при этом больше 7, оно является составным. Второй множитель в разложении $M = (6^{n-1} - 6^{n-2} + \dots + 1)$ при $n \ge 3$ также будет больше 1. Например, при $n=3$, $M = 6^2 - 6^1 + 1 = 36-6+1=31 > 1$. Таким образом, выражение $6^n+1$ является составным для всех нечётных натуральных $n$, за исключением $n=1$.

Ответ: все нечётные натуральные числа $n > 1$.

4. Дано, что натуральное число $n$ таково, что числа $n-2$ и $n+14$ делятся нацело на простое число $p$. Это значит, что $p$ является общим делителем чисел $n-2$ и $n+14$. Согласно свойству делимости, если число делит два других числа, то оно также делит их разность. Следовательно, $p$ должно делить разность чисел $(n+14)$ и $(n-2)$:$(n+14) - (n-2) = n+14-n+2 = 16$.

Таким образом, простое число $p$ является делителем числа 16. Чтобы найти $p$, найдём все простые делители числа 16. Разложим 16 на простые множители:$16 = 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$. Единственным простым делителем числа 16 является число 2.

Значит, $p$ может быть равно только 2. Убедимся, что такое возможно. Если $p=2$, то $n-2$ и $n+14$ должны быть чётными. Это выполняется, если $n$ — чётное число. Например, при $n=4$ имеем $n-2=2$ и $n+14=18$. Оба числа делятся на 2. Значит, такие $n$ существуют.

Ответ: 2.