Номер 26, страница 17 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 26, страница 17.

Условие.

Самостоятельная работа № 26

Функция $y = x^2$ и её график

1. Решите графически уравнение:

1) $x^2 = 5x - 6$;

2) $x^2 - x + 2 = 0$.

2. Определите графически количество решений системы уравнений:

$ \begin{cases} y = x^2 \\ y - 2x - 5 = 0 \end{cases} $

3. Постройте график функции:

1) $ y = \begin{cases} x^2, \text{ если } x \le 1 \\ 2 - x, \text{ если } x > 1 \end{cases} $

2) $ y = \frac{x^3 - 3x^2}{x - 3} $

4. Постройте график уравнения:

1) $(y - x^2)(y - 1) = 0$;

2) $(y - x^2)^2 + (y - 1)^2 = 0$.

Решение.

1. Решите графически уравнение:

1) $x^2 = 5x - 6$

Для графического решения уравнения представим его в виде равенства двух функций: $y = x^2$ и $y = 5x - 6$. Решениями уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графиков этих функций.

1. Построим график функции $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх. Для построения возьмем несколько точек: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(-1, 1)$, $(2, 4)$, $(-2, 4)$, $(3, 9)$.

2. Построим график функции $y = 5x - 6$. Это прямая линия. Для построения достаточно двух точек:

• Если $x = 1$, то $y = 5(1) - 6 = -1$. Точка $(1, -1)$.
• Если $x = 2$, то $y = 5(2) - 6 = 4$. Точка $(2, 4)$.

3. Начертив оба графика в одной системе координат, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Найдем их координаты на графике. Точки пересечения: $(2, 4)$ и $(3, 9)$.

Абсциссы этих точек, $x = 2$ и $x = 3$, и являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = 3$.

2) $x^2 - x + 2 = 0$

Преобразуем уравнение для графического решения: $x^2 = x - 2$. Рассмотрим две функции: $y = x^2$ и $y = x - 2$.

1. График $y = x^2$ — стандартная парабола с вершиной в $(0, 0)$.

2. График $y = x - 2$ — прямая линия. Найдем две точки для ее построения:

• Если $x = 0$, то $y = -2$. Точка $(0, -2)$.
• Если $x = 2$, то $y = 0$. Точка $(2, 0)$.

3. Построив оба графика в одной системе координат, мы увидим, что парабола и прямая не имеют общих точек, то есть не пересекаются.

Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2. Определите графически количество решений системы уравнений

Дана система: $\begin{cases} y = x^2, \\ y - 2x - 5 = 0. \end{cases}$

Количество решений системы равно количеству точек пересечения графиков уравнений, входящих в систему. Преобразуем второе уравнение к виду $y = 2x + 5$.

1. График $y = x^2$ — стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$.

2. График $y = 2x + 5$ — прямая линия. Найдем две точки для построения:

• Если $x = 0$, то $y = 5$. Точка $(0, 5)$.
• Если $x = -1$, то $y = 2(-1) + 5 = 3$. Точка $(-1, 3)$.

Построив параболу и прямую в одной системе координат, мы увидим, что они пересекаются в двух точках.

Ответ: 2 решения.

3. Постройте график функции:

1) $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 1, \\ 2-x, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

График этой функции состоит из двух частей.

1. Для $x \le 1$ строим график функции $y = x^2$. Это часть параболы, расположенная левее и включая точку с абсциссой $x = 1$. Ключевые точки: $(0, 0)$, $(-1, 1)$, $(-2, 4)$. В граничной точке $x = 1$ имеем $y = 1^2 = 1$. Точка $(1, 1)$ принадлежит этому участку графика.

2. Для $x > 1$ строим график функции $y = 2 - x$. Это часть прямой линии. В граничной точке $x = 1$ (которая не включается в этот интервал, поэтому будет "выколотой") имеем $y = 2 - 1 = 1$. Точка $(1, 1)$. Возьмем еще одну точку, например, при $x = 2$, $y = 2 - 2 = 0$. Точка $(2, 0)$.

Совмещаем графики. График представляет собой ветвь параболы до точки $(1, 1)$ включительно, а затем из этой же точки $(1, 1)$ выходит луч прямой, проходящий через точку $(2, 0)$. Так как значение функции в точке $x=1$ для обоих выражений совпадает, разрыва в этой точке нет.

Ответ: График состоит из части параболы $y = x^2$ при $x \le 1$ и луча прямой $y = 2 - x$ при $x > 1$, которые соединяются в точке $(1, 1)$.

2) $y = \frac{x^3 - 3x^2}{x-3}$

Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x - 3 \ne 0 \implies x \ne 3$.

Теперь упростим выражение функции, вынеся общий множитель в числителе: $y = \frac{x^2(x - 3)}{x-3}$.

При $x \ne 3$ мы можем сократить дробь: $y = x^2$.

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком параболы $y = x^2$ во всех точках, кроме точки с абсциссой $x = 3$. В этой точке функция не определена, поэтому на графике будет "выколотая" точка.

Найдем ординату этой точки: $y = 3^2 = 9$. Координаты выколотой точки — $(3, 9)$.

Ответ: Графиком является парабола $y = x^2$ с выколотой точкой $(3, 9)$.

4. Постройте график уравнения:

1) $(y - x^2)(y - 1) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $y - x^2 = 0$ или $y - 1 = 0$.

Это означает, что график исходного уравнения является объединением графиков двух уравнений: 1. $y = x^2$ — это стандартная парабола с вершиной в $(0, 0)$. 2. $y = 1$ — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 1)$ и параллельная оси $Ox$.

Ответ: График представляет собой объединение параболы $y = x^2$ и горизонтальной прямой $y = 1$.

2) $(y - x^2)^2 + (y - 1)^2 = 0$

Сумма двух неотрицательных выражений (квадратов) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих выражений равно нулю одновременно. Следовательно, данное уравнение равносильно системе двух уравнений: $\begin{cases} y - x^2 = 0, \\ y - 1 = 0. \end{cases}$

Решим эту систему. Из второго уравнения сразу получаем $y = 1$. Подставим это значение в первое уравнение: $1 - x^2 = 0$ $x^2 = 1$ $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

Таким образом, система имеет два решения: $(1, 1)$ и $(-1, 1)$. Графиком данного уравнения являются две эти точки на координатной плоскости.

Ответ: График состоит из двух точек: $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.