Номер 32, страница 20 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Самостоятельные работы - номер 32, страница 20.

Условие.

Самостоятельная работа № 32

Функция $y = \sqrt{x}$ и её график

1. Постройте в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x - 2$ и определите координаты точки их пересечения.

2. Решите неравенство:

1) $\sqrt{2x - 1} < 3$;

2) $\sqrt{x - 1} > \sqrt{2x - 3}$.

3. Постройте график уравнения $(y - \sqrt{x})(y - 1) = 0$.

4. Решите уравнение $\sqrt{x + 7 + 4\sqrt{x + 3}} + \sqrt{x + 12 - 6\sqrt{x + 3}} = 5$.

Решение.

1. Постройте в одной системе координат графики функций $y=\sqrt{x}$ и $y=x-2$ и определите координаты точки их пересечения.

Для построения графиков функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x - 2$ воспользуемся их основными свойствами и несколькими точками.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти. Область определения: $x \ge 0$.
Некоторые точки для графика: (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3).

График функции $y = x - 2$ — это прямая линия.
Найдем две точки для построения: если $x=0$, то $y=-2$; если $y=0$, то $x=2$. Точки: (0, -2), (2, 0).

Чтобы найти координаты точки пересечения графиков, необходимо решить систему уравнений:$\begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = x - 2\end{cases}$

Приравняем правые части уравнений: $\sqrt{x} = x - 2$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения. Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Во-вторых, так как корень арифметический ($\sqrt{x} \ge 0$), то и правая часть должна быть неотрицательной: $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$. Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \ge 2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:$(\sqrt{x})^2 = (x - 2)^2$
$x = x^2 - 4x + 4$
$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 2$):
$x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$, следовательно, это посторонний корень.
$x_2 = 4$ удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = 4$ в любое из исходных уравнений:$y = \sqrt{4} = 2$. Координаты точки пересечения: (4, 2).

Ответ: (4, 2).

2. Решите неравенство:

1) $\sqrt{2x - 1} < 3$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:$2x - 1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны на ОДЗ, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:$(\sqrt{2x - 1})^2 < 3^2$
$2x - 1 < 9$
$2x < 10$
$x < 5$

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:$\begin{cases} x \ge \frac{1}{2} \\ x < 5 \end{cases}$
Решением является интервал $[\frac{1}{2}, 5)$.

Ответ: $[\frac{1}{2}, 5)$.

2) $\sqrt{x - 1} > \sqrt{2x - 3}$

Найдем ОДЗ. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными:$\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ 2x - 3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1 \\ x \ge \frac{3}{2} \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x \ge \frac{3}{2}$.

На ОДЗ обе части неравенства неотрицательны, поэтому можем возвести их в квадрат:$(\sqrt{x - 1})^2 > (\sqrt{2x - 3})^2$
$x - 1 > 2x - 3$
$3 - 1 > 2x - x$
$2 > x$ или $x < 2$

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ:$\begin{cases} x \ge \frac{3}{2} \\ x < 2 \end{cases}$
Решением является интервал $[\frac{3}{2}, 2)$.

Ответ: $[\frac{3}{2}, 2)$.

3. Постройте график уравнения $(y - \sqrt{x})(y - 1) = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:$y - \sqrt{x} = 0$ или $y - 1 = 0$.

Это означает, что график исходного уравнения представляет собой объединение графиков уравнений $y = \sqrt{x}$ и $y = 1$.

Из-за наличия $\sqrt{x}$ область определения для всего уравнения: $x \ge 0$.

Следовательно, график уравнения состоит из двух частей:
1. График функции $y = \sqrt{x}$, который является ветвью параболы, выходящей из начала координат.
2. График уравнения $y = 1$ при условии $x \ge 0$. Это горизонтальный луч, выходящий из точки (0, 1) и направленный вправо вдоль прямой $y = 1$.

Ответ: Графиком уравнения является объединение графика функции $y = \sqrt{x}$ и луча $y = 1$ при $x \ge 0$.

4. Решите уравнение $\sqrt{x+7+4\sqrt{x+3}} + \sqrt{x+12-6\sqrt{x+3}} = 5$.

Найдем ОДЗ. Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$.

Преобразуем выражения под внешними корнями, выделив полные квадраты по формуле $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Для первого слагаемого:$x+7+4\sqrt{x+3} = (x+3) + 4\sqrt{x+3} + 4 = (\sqrt{x+3})^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x+3} + 2^2 = (\sqrt{x+3}+2)^2$.

Для второго слагаемого:$x+12-6\sqrt{x+3} = (x+3) - 6\sqrt{x+3} + 9 = (\sqrt{x+3})^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{x+3} + 3^2 = (\sqrt{x+3}-3)^2$.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:$\sqrt{(\sqrt{x+3}+2)^2} + \sqrt{(\sqrt{x+3}-3)^2} = 5$

Используя свойство $\sqrt{a^2}=|a|$, получаем:$|\sqrt{x+3}+2| + |\sqrt{x+3}-3| = 5$

Так как $\sqrt{x+3} \ge 0$ на ОДЗ, то $\sqrt{x+3}+2$ всегда положительно, и $|\sqrt{x+3}+2| = \sqrt{x+3}+2$. Уравнение принимает вид:$\sqrt{x+3}+2 + |\sqrt{x+3}-3| = 5$

Рассмотрим два случая для раскрытия оставшегося модуля.

Случай 1: Выражение под модулем неотрицательно, т.е. $\sqrt{x+3}-3 \ge 0$.$\sqrt{x+3} \ge 3 \implies x+3 \ge 9 \implies x \ge 6$. В этом случае $|\sqrt{x+3}-3| = \sqrt{x+3}-3$. Уравнение:$(\sqrt{x+3}+2) + (\sqrt{x+3}-3) = 5$
$2\sqrt{x+3} - 1 = 5$
$2\sqrt{x+3} = 6$
$\sqrt{x+3} = 3$
$x+3 = 9 \implies x=6$. Корень $x=6$ удовлетворяет условию $x \ge 6$.

Случай 2: Выражение под модулем отрицательно, т.е. $\sqrt{x+3}-3 < 0$.$\sqrt{x+3} < 3 \implies x+3 < 9 \implies x < 6$. С учетом ОДЗ ($x \ge -3$), этот случай рассматривается для $x \in [-3, 6)$. В этом случае $|\sqrt{x+3}-3| = -(\sqrt{x+3}-3) = 3-\sqrt{x+3}$. Уравнение:$(\sqrt{x+3}+2) + (3-\sqrt{x+3}) = 5$
$5 = 5$. Это верное тождество. Следовательно, все значения $x$ из промежутка $[-3, 6)$ являются решениями уравнения.

Объединяем решения из обоих случаев: $x = 6$ из первого случая и промежуток $[-3, 6)$ из второго. В результате получаем отрезок $[-3, 6]$.

Ответ: $x \in [-3, 6]$.