Номер 35, страница 21 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Самостоятельные работы - номер 35, страница 21.

Условие.

Самостоятельная работа № 35

Теорема Виета

1. Не решая уравнение, найдите сумму и произведение его корней:

1) $x^2 + 17x - 38 = 0$

2) $3x^2 - 8x - 14 = 0$

2. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны:

1) $\frac{2}{3}$ и 5

2) $3 - \sqrt{31}$ и $3 + \sqrt{31}$

3. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 9x + 11 = 0$. Не решая уравнение, найдите значение выражения:

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$

2) $x_1^2 + x_2^2$

4. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 1 больше соответствующих корней уравнения $x^2 + 5x - 7 = 0$.

5. При каких значениях параметра $a$ произведение корней уравнения $x^2 + (a + 3)x + a^2 - 2a = 0$ равно 3?

Решение.

1.

Воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения вида $ax^2+bx+c=0$. Сумма корней $x_1+x_2 = -b/a$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = c/a$.

1) Для уравнения $x^2 + 17x - 38 = 0$ коэффициенты равны: $a=1, b=17, c=-38$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{17}{1} = -17$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{-38}{1} = -38$.

Ответ: сумма корней равна -17, произведение корней равно -38.

2) Для уравнения $3x^2 - 8x - 14 = 0$ коэффициенты равны: $a=3, b=-8, c=-14$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(\frac{-8}{3}) = \frac{8}{3}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{-14}{3} = -\frac{14}{3}$.

Ответ: сумма корней равна $\frac{8}{3}$, произведение корней равно $-\frac{14}{3}$.

---

2.

Если $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения, то его можно записать в виде $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$.

1) Корни равны $\frac{2}{3}$ и $5$.

Найдем их сумму и произведение:

Сумма: $x_1 + x_2 = \frac{2}{3} + 5 = \frac{2}{3} + \frac{15}{3} = \frac{17}{3}$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = \frac{2}{3} \cdot 5 = \frac{10}{3}$.

Подставим в формулу: $x^2 - \frac{17}{3}x + \frac{10}{3} = 0$.

Чтобы коэффициенты были целыми, умножим все уравнение на 3:

$3(x^2 - \frac{17}{3}x + \frac{10}{3}) = 0 \implies 3x^2 - 17x + 10 = 0$.

Ответ: $3x^2 - 17x + 10 = 0$.

2) Корни равны $3-\sqrt{31}$ и $3+\sqrt{31}$.

Найдем их сумму и произведение:

Сумма: $x_1 + x_2 = (3-\sqrt{31}) + (3+\sqrt{31}) = 6$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = (3-\sqrt{31})(3+\sqrt{31}) = 3^2 - (\sqrt{31})^2 = 9 - 31 = -22$.

Подставим в формулу: $x^2 - 6x + (-22) = 0 \implies x^2 - 6x - 22 = 0$.

Ответ: $x^2 - 6x - 22 = 0$.

---

3.

Дано уравнение $x^2 - 9x + 11 = 0$, где $x_1$ и $x_2$ — его корни.

По теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-9)/1 = 9$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 11/1 = 11$.

1) Найдем значение выражения $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1x_2}$.

Подставим найденные значения суммы и произведения корней:

$\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{9}{11}$.

Ответ: $\frac{9}{11}$.

2) Найдем значение выражения $x_1^2 + x_2^2$.

Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.

Выразим из нее искомую сумму квадратов:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим значения суммы и произведения корней:

$x_1^2 + x_2^2 = (9)^2 - 2(11) = 81 - 22 = 59$.

Ответ: 59.

---

4.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни исходного уравнения $x^2 + 5x - 7 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -5$.

$x_1 \cdot x_2 = -7$.

Корни нового уравнения, обозначим их $y_1$ и $y_2$, на 1 больше корней исходного уравнения:

$y_1 = x_1 + 1$

$y_2 = x_2 + 1$

Для составления нового квадратного уравнения найдем сумму и произведение его корней:

Сумма новых корней: $y_1 + y_2 = (x_1 + 1) + (x_2 + 1) = (x_1 + x_2) + 2 = -5 + 2 = -3$.

Произведение новых корней: $y_1 \cdot y_2 = (x_1 + 1)(x_2 + 1) = x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = (-7) + (-5) + 1 = -11$.

Новое уравнение имеет вид $y^2 - (y_1+y_2)y + y_1y_2 = 0$.

Подставив найденные значения, получим: $y^2 - (-3)y + (-11) = 0$, или $y^2 + 3y - 11 = 0$.

Используя переменную $x$, уравнение можно записать как $x^2 + 3x - 11 = 0$.

Ответ: $x^2 + 3x - 11 = 0$.

---

5.

Дано уравнение $x^2 + (a+3)x + a^2 - 2a = 0$.

По теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно свободному члену (коэффициенту $c$), так как коэффициент при $x^2$ (коэффициент $a$ в стандартной записи) равен 1.

$x_1 \cdot x_2 = a^2 - 2a$.

По условию задачи, это произведение равно 3:

$a^2 - 2a = 3$.

Перенесем 3 в левую часть и решим полученное квадратное уравнение относительно параметра $a$:

$a^2 - 2a - 3 = 0$.

Корни этого уравнения можно найти по теореме Виета: $a_1 \cdot a_2 = -3$ и $a_1 + a_2 = 2$. Подбором находим $a_1 = 3$ и $a_2 = -1$.

Для того чтобы исходное уравнение имело действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).

$D = b^2 - 4ac = (a+3)^2 - 4(1)(a^2 - 2a) = a^2 + 6a + 9 - 4a^2 + 8a = -3a^2 + 14a + 9$.

Проверим найденные значения $a$ на условие $D \ge 0$:

При $a = 3$: $D = -3(3)^2 + 14(3) + 9 = -3(9) + 42 + 9 = -27 + 51 = 24$. Так как $24 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

При $a = -1$: $D = -3(-1)^2 + 14(-1) + 9 = -3(1) - 14 + 9 = -3 - 14 + 9 = -8$. Так как $-8 < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, условию задачи (в предположении, что корни действительные) удовлетворяет только значение $a = 3$.

Ответ: $a=3$.