Номер 16, страница 12 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 16, страница 12.

Условие.

Самостоятельная работа № 16

Делимость нацело и её свойства

1. Числа $a$ и $b$ таковы, что $a \vdots 3$, $b \vdots 7$. Докажите, что $(7a+3b) \vdots 21$.

2. Числа $m$ и $n$ таковы, что значение каждого из выражений $m+7$ и $n-29$ кратно 11. Докажите, что значение выражения $m+n$ кратно 11.

3. Решите в целых числах уравнение $x^2 - x + 5xy - 5y = 7$.

4. Докажите, что при любых нечётных натуральных значениях $n$ значение выражения $1^n + 2^n + \dots + 12^n$ кратно 13.

Решение.

1. Поскольку по условию число $a$ делится на $3$, а число $b$ делится на $7$, то существуют такие целые числа $k$ и $m$, что $a = 3k$ и $b = 7m$.
Подставим эти выражения в $7a + 3b$:
$7a + 3b = 7(3k) + 3(7m) = 21k + 21m$.
Вынесем общий множитель $21$ за скобки:
$21(k + m)$.
Так как $k$ и $m$ — целые числа, то их сумма $(k + m)$ также является целым числом. Следовательно, выражение $21(k + m)$ делится на $21$ без остатка.
Таким образом, доказано, что $(7a + 3b)$ делится на $21$.

Альтернативное решение с использованием свойств делимости:
Чтобы доказать, что выражение $(7a + 3b)$ делится на $21$, достаточно доказать, что оно делится на $3$ и на $7$, так как числа $3$ и $7$ взаимно простые.
1) Докажем делимость на $3$.
Так как $a$ делится на $3$, то и произведение $7a$ делится на $3$. Слагаемое $3b$ очевидно делится на $3$. Сумма двух чисел, делящихся на $3$, также делится на $3$. Значит, $(7a + 3b)$ делится на $3$.
2) Докажем делимость на $7$.
Так как $b$ делится на $7$, то и произведение $3b$ делится на $7$. Слагаемое $7a$ очевидно делится на $7$. Сумма двух чисел, делящихся на $7$, также делится на $7$. Значит, $(7a + 3b)$ делится на $7$.
Поскольку выражение $(7a + 3b)$ делится и на $3$, и на $7$, оно делится на их произведение $3 \cdot 7 = 21$.
Ответ: Доказано.

2. По условию, значение каждого из выражений $m + 7$ и $n - 29$ кратно $11$. Это означает, что $(m + 7) \vdots 11$ и $(n - 29) \vdots 11$.
Если два числа делятся на $11$, то их сумма также делится на $11$. Сложим данные выражения:
$(m + 7) + (n - 29) = m + n + 7 - 29 = m + n - 22$.
Следовательно, выражение $(m + n - 22)$ кратно $11$.
Мы знаем, что число $22$ также кратно $11$.
Рассмотрим выражение $(m + n - 22)$. Оно представляет собой разность двух чисел: $(m + n)$ и $22$. Если разность двух чисел и вычитаемое делятся на некоторое число (в нашем случае $11$), то и уменьшаемое должно делиться на это число.
Так как $(m + n - 22) \vdots 11$ и $22 \vdots 11$, то и $(m + n) \vdots 11$.
Ответ: Доказано.

3. Дано уравнение $x^2 - x + 5xy - 5y = 7$.
Разложим левую часть уравнения на множители методом группировки:
$(x^2 - x) + (5xy - 5y) = 7$
$x(x - 1) + 5y(x - 1) = 7$
Вынесем общий множитель $(x - 1)$:
$(x - 1)(x + 5y) = 7$.
Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то выражения $(x - 1)$ и $(x + 5y)$ также являются целыми числами. Их произведение равно $7$. Следовательно, они являются делителями числа $7$.
Целые делители числа $7$: $1, 7, -1, -7$.
Рассмотрим все возможные пары множителей:
1) $\begin{cases} x - 1 = 1 \\ x + 5y = 7 \end{cases}$
Из первого уравнения находим $x = 2$. Подставляем во второе: $2 + 5y = 7 \implies 5y = 5 \implies y = 1$. Получили решение $(2; 1)$.
2) $\begin{cases} x - 1 = 7 \\ x + 5y = 1 \end{cases}$
Из первого уравнения находим $x = 8$. Подставляем во второе: $8 + 5y = 1 \implies 5y = -7$. Здесь $y = -7/5$, что не является целым числом.
3) $\begin{cases} x - 1 = -1 \\ x + 5y = -7 \end{cases}$
Из первого уравнения находим $x = 0$. Подставляем во второе: $0 + 5y = -7 \implies 5y = -7$. Здесь $y = -7/5$, что не является целым числом.
4) $\begin{cases} x - 1 = -7 \\ x + 5y = -1 \end{cases}$
Из первого уравнения находим $x = -6$. Подставляем во второе: $-6 + 5y = -1 \implies 5y = 5 \implies y = 1$. Получили решение $(-6; 1)$.
Таким образом, уравнение имеет два решения в целых числах.
Ответ: $(2; 1), (-6; 1)$.

4. Рассмотрим выражение $S = 1^n + 2^n + \dots + 12^n$, где $n$ — нечётное натуральное число.
Сгруппируем слагаемые в суммы попарно: первое с последним, второе с предпоследним и так далее.
$S = (1^n + 12^n) + (2^n + 11^n) + (3^n + 10^n) + (4^n + 9^n) + (5^n + 8^n) + (6^n + 7^n)$.
Всего получилось $12 / 2 = 6$ пар.
Воспользуемся известным свойством: для любого нечётного натурального $n$ выражение $a^n + b^n$ делится на $a + b$.
Рассмотрим каждую пару:
- Сумма $1^n + 12^n$ делится на $1 + 12 = 13$.
- Сумма $2^n + 11^n$ делится на $2 + 11 = 13$.
- Сумма $3^n + 10^n$ делится на $3 + 10 = 13$.
- Сумма $4^n + 9^n$ делится на $4 + 9 = 13$.
- Сумма $5^n + 8^n$ делится на $5 + 8 = 13$.
- Сумма $6^n + 7^n$ делится на $6 + 7 = 13$.
Таким образом, вся сумма $S$ представляет собой сумму шести слагаемых, каждое из которых делится на $13$. По свойству делимости, если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число.
Следовательно, значение выражения $1^n + 2^n + \dots + 12^n$ кратно $13$ при любом нечётном натуральном $n$.
Ответ: Доказано.