Номер 8, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Самостоятельные работы - номер 8, страница 28.

Условие.

Самостоятельная работа № 8

Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями

1. Представьте в виде дроби выражение:

1) $\frac{7}{9ab} - \frac{13}{12ab}$;

2) $\frac{2n - 5m}{n} + \frac{6n^2 + 5m^2}{mn}$;

3) $6 - \frac{3a + 6c}{c}$;

4) $\frac{n^2 - m^2}{m + 3n} + m - 3n.$

2. Выполните действия:

1) $\frac{4b}{3b - 21} + \frac{3b}{14 - 2b}$;

2) $\frac{3p}{3p + 2q} - \frac{9p^2}{9p^2 + 12pq + 4q^2}$;

3) $\frac{4}{c^2 - 36} - \frac{2}{c^2 - 6c}.$

3. Упростите выражение

$\frac{a + 2}{a^2 + 2a + 4} - \frac{1}{a - 2} + \frac{a^3 + 2a}{a^3 - 8}.$

4. Докажите тождество:

$\frac{1}{x(x - 3)} + \frac{1}{(x - 3)(x - 6)} + \frac{1}{(x - 6)(x - 9)} + \frac{1}{(x - 9)(x - 12)} = \frac{4}{x(x - 12)}.$

Решение.

1) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{7}{9ab} - \frac{13}{12ab}$, найдем их наименьший общий знаменатель. Наименьшее общее кратное чисел 9 и 12 равно 36. Таким образом, общий знаменатель равен $36ab$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{7 \cdot 4}{9ab \cdot 4} - \frac{13 \cdot 3}{12ab \cdot 3} = \frac{28}{36ab} - \frac{39}{36ab} = \frac{28 - 39}{36ab} = -\frac{11}{36ab}$.
Ответ: $-\frac{11}{36ab}$

2) Для сложения дробей $\frac{2n - 5m}{n} + \frac{6n^2 + 5m^2}{mn}$ приведем их к общему знаменателю $mn$.
Домножим первую дробь на $m$:
$\frac{(2n - 5m) \cdot m}{n \cdot m} + \frac{6n^2 + 5m^2}{mn} = \frac{2mn - 5m^2 + 6n^2 + 5m^2}{mn} = \frac{6n^2 + 2mn}{mn}$.
Вынесем в числителе общий множитель $2n$ за скобки и сократим дробь:
$\frac{2n(3n + m)}{mn} = \frac{2(3n + m)}{m}$.
Ответ: $\frac{2(3n + m)}{m}$

3) Представим число $6$ в виде дроби со знаменателем $c$: $6 = \frac{6c}{c}$.
Теперь выполним вычитание:
$6 - \frac{3a + 6c}{c} = \frac{6c}{c} - \frac{3a + 6c}{c} = \frac{6c - (3a + 6c)}{c} = \frac{6c - 3a - 6c}{c} = \frac{-3a}{c}$.
Ответ: $-\frac{3a}{c}$

4) Представим выражение $(m - 3n)$ в виде дроби со знаменателем $(m + 3n)$: $m - 3n = \frac{(m - 3n)(m + 3n)}{m + 3n} = \frac{m^2 - 9n^2}{m + 3n}$.
Теперь выполним сложение:
$\frac{n^2 - m^2}{m + 3n} + \frac{m^2 - 9n^2}{m + 3n} = \frac{n^2 - m^2 + m^2 - 9n^2}{m + 3n} = \frac{-8n^2}{m + 3n}$.
Ответ: $-\frac{8n^2}{m + 3n}$

1) В выражении $\frac{4b}{3b - 21} + \frac{3b}{14 - 2b}$ разложим знаменатели на множители:
$3b - 21 = 3(b - 7)$
$14 - 2b = 2(7 - b) = -2(b - 7)$
Подставим в исходное выражение:
$\frac{4b}{3(b - 7)} + \frac{3b}{-2(b - 7)} = \frac{4b}{3(b - 7)} - \frac{3b}{2(b - 7)}$.
Общий знаменатель равен $6(b - 7)$.
$\frac{4b \cdot 2}{6(b - 7)} - \frac{3b \cdot 3}{6(b - 7)} = \frac{8b - 9b}{6(b - 7)} = \frac{-b}{6(b - 7)}$.
Ответ: $-\frac{b}{6(b-7)}$

2) В выражении $\frac{3p}{3p + 2q} - \frac{9p^2}{9p^2 + 12pq + 4q^2}$ знаменатель второй дроби является полным квадратом суммы: $9p^2 + 12pq + 4q^2 = (3p + 2q)^2$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(3p + 2q)^2$:
$\frac{3p \cdot (3p + 2q)}{(3p + 2q)^2} - \frac{9p^2}{(3p + 2q)^2} = \frac{9p^2 + 6pq - 9p^2}{(3p + 2q)^2} = \frac{6pq}{(3p + 2q)^2}$.
Ответ: $\frac{6pq}{(3p + 2q)^2}$

3) В выражении $\frac{4}{c^2 - 36} - \frac{2}{c^2 - 6c}$ разложим знаменатели на множители, используя формулу разности квадратов и вынесение общего множителя:
$c^2 - 36 = (c - 6)(c + 6)$
$c^2 - 6c = c(c - 6)$
Общий знаменатель равен $c(c - 6)(c + 6)$.
$\frac{4 \cdot c}{c(c - 6)(c + 6)} - \frac{2 \cdot (c + 6)}{c(c - 6)(c + 6)} = \frac{4c - 2(c + 6)}{c(c - 6)(c + 6)} = \frac{4c - 2c - 12}{c(c - 6)(c + 6)} = \frac{2c - 12}{c(c - 6)(c + 6)}$.
Вынесем множитель в числителе и сократим дробь:
$\frac{2(c - 6)}{c(c - 6)(c + 6)} = \frac{2}{c(c + 6)}$.
Ответ: $\frac{2}{c(c+6)}$

3. Упростим выражение $\frac{a + 2}{a^2 + 2a + 4} - \frac{1}{a - 2} + \frac{a^3 + 2a}{a^3 - 8}$.
Заметим, что знаменатель $a^3 - 8$ раскладывается по формуле разности кубов: $a^3 - 8 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$. Это и будет общим знаменателем.
Приведем все дроби к этому знаменателю:
$\frac{(a + 2)(a - 2)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} - \frac{1 \cdot (a^2 + 2a + 4)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} + \frac{a^3 + 2a}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)}$.
Выполним действия с числителями:
$\frac{(a^2 - 4) - (a^2 + 2a + 4) + (a^3 + 2a)}{a^3 - 8} = \frac{a^2 - 4 - a^2 - 2a - 4 + a^3 + 2a}{a^3 - 8}$.
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{a^3 - 8}{a^3 - 8} = 1$.
Ответ: $1$

4. Докажем тождество $\frac{1}{x(x - 3)} + \frac{1}{(x - 3)(x - 6)} + \frac{1}{(x - 6)(x - 9)} + \frac{1}{(x - 9)(x - 12)} = \frac{4}{x(x - 12)}$.
Преобразуем левую часть, последовательно складывая дроби.
1) Сумма первых двух дробей:
$\frac{1}{x(x - 3)} + \frac{1}{(x - 3)(x - 6)} = \frac{(x - 6) + x}{x(x - 3)(x - 6)} = \frac{2x - 6}{x(x - 3)(x - 6)} = \frac{2(x - 3)}{x(x - 3)(x - 6)} = \frac{2}{x(x - 6)}$.
2) К полученному результату прибавим третью дробь:
$\frac{2}{x(x - 6)} + \frac{1}{(x - 6)(x - 9)} = \frac{2(x - 9) + x}{x(x - 6)(x - 9)} = \frac{2x - 18 + x}{x(x - 6)(x - 9)} = \frac{3x - 18}{x(x - 6)(x - 9)} = \frac{3(x - 6)}{x(x - 6)(x - 9)} = \frac{3}{x(x - 9)}$.
3) К новому результату прибавим последнюю, четвертую дробь:
$\frac{3}{x(x - 9)} + \frac{1}{(x - 9)(x - 12)} = \frac{3(x - 12) + x}{x(x - 9)(x - 12)} = \frac{3x - 36 + x}{x(x - 9)(x - 12)} = \frac{4x - 36}{x(x - 9)(x - 12)} = \frac{4(x - 9)}{x(x - 9)(x - 12)} = \frac{4}{x(x - 12)}$.
В результате преобразования левой части мы получили правую часть. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.