Номер 4, страница 26 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Самостоятельные работы - номер 4, страница 26.

Условие.

Самостоятельная работа № 4

Равномощные множества. Счётные множества

1. Докажите, что множество чисел вида $5^{4n-1}$ ($n \in N$) счётно.

2. На координатной плоскости отметили точки $A(2; 0)$, $B(5; 0)$, $C(0; 1)$, $D(0; 8)$. Докажите, что множества точек отрезков $AC$ и $BD$ равномощны.

Решение.

1. Чтобы доказать, что множество чисел вида $5^{4n-1}$ (где $n \in \mathbb{N}$) счётно, нужно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) между этим множеством и множеством натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$.

Пусть данное множество $M = \{5^{4n-1} | n \in \mathbb{N}\}$.
Рассмотрим функцию $f: \mathbb{N} \to M$, определённую правилом $f(n) = 5^{4n-1}$.

Докажем, что эта функция является биекцией.

1. Инъективность (взаимная однозначность).
Функция инъективна, если разным элементам области определения соответствуют разные элементы области значений. То есть, из $f(n_1) = f(n_2)$ должно следовать $n_1 = n_2$.
Пусть $f(n_1) = f(n_2)$ для некоторых $n_1, n_2 \in \mathbb{N}$.
Тогда $5^{4n_1-1} = 5^{4n_2-1}$.
Так как основания степеней равны, то должны быть равны и показатели степеней:
$4n_1 - 1 = 4n_2 - 1$
$4n_1 = 4n_2$
$n_1 = n_2$
Следовательно, функция $f$ инъективна.

2. Сюръективность (отображение "на").
Функция сюръективна, если для любого элемента $y$ из области значений $M$ существует такой элемент $n$ из области определения $\mathbb{N}$, что $f(n) = y$.
По определению множества $M$, каждый его элемент имеет вид $5^{4n-1}$ для некоторого натурального числа $n$. Это означает, что для любого элемента $y \in M$ найдётся $n \in \mathbb{N}$, для которого $f(n) = y$.
Следовательно, функция $f$ сюръективна.

Поскольку функция $f(n) = 5^{4n-1}$ является и инъективной, и сюръективной, она является биекцией. Это доказывает, что между множеством $M$ и множеством натуральных чисел $\mathbb{N}$ существует взаимно однозначное соответствие, а значит, множество $M$ счётно.

Ответ: Множество чисел вида $5^{4n-1}$ счётно, так как установлена биекция $f(n) = 5^{4n-1}$ между ним и множеством натуральных чисел $\mathbb{N}$.

2. Чтобы доказать, что множества точек отрезков $AC$ и $BD$ равномощны, необходимо построить биекцию (взаимно однозначное отображение) между этими двумя множествами.

Координаты заданных точек: $A(2; 0)$, $B(5; 0)$, $C(0; 1)$, $D(0; 8)$.

Любую точку $P$ на отрезке $AC$ можно представить в параметрическом виде как линейную комбинацию его концов: $P(t) = (1-t)A + tC$, где параметр $t \in [0, 1]$.
При $t=0$, $P(0) = A$.
При $t=1$, $P(1) = C$.
Подставим координаты точек $A$ и $C$:
$P(t) = (1-t)(2; 0) + t(0; 1) = (2(1-t); 0) + (0; t) = (2-2t, t)$.

Аналогично, любую точку $Q$ на отрезке $BD$ можно представить в виде: $Q(s) = (1-s)B + sD$, где параметр $s \in [0, 1]$.
При $s=0$, $Q(0) = B$.
При $s=1$, $Q(1) = D$.
Подставим координаты точек $B$ и $D$:
$Q(s) = (1-s)(5; 0) + s(0; 8) = (5(1-s); 0) + (0; 8s) = (5-5s, 8s)$.

Теперь определим отображение $f$ из множества точек отрезка $AC$ в множество точек отрезка $BD$. Каждой точке $P$ на отрезке $AC$, которая делит его в определённом отношении (задаваемом параметром $t$), поставим в соответствие точку $Q$ на отрезке $BD$, которая делит его в том же самом отношении. То есть, мы используем один и тот же параметр для обоих отрезков.

Пусть $P = P(t) = (2-2t, t)$ – точка на отрезке $AC$.
Определим её образ $f(P)$ как точку $Q(t)$ на отрезке $BD$ с тем же значением параметра $t$:
$f(P(t)) = Q(t) = (5-5t, 8t)$.

Докажем, что это отображение $f$ является биекцией.

1. Инъективность.
Пусть $P_1 = P(t_1)$ и $P_2 = P(t_2)$ – две точки на $AC$, и пусть их образы совпадают: $f(P_1) = f(P_2)$.
Это означает, что $Q(t_1) = Q(t_2)$.
$(5-5t_1, 8t_1) = (5-5t_2, 8t_2)$.
Равенство векторов означает равенство их соответствующих компонент:
$5-5t_1 = 5-5t_2 \implies t_1 = t_2$
$8t_1 = 8t_2 \implies t_1 = t_2$
Поскольку $t_1 = t_2$, то и исходные точки $P_1$ и $P_2$ совпадают: $P_1 = P(t_1) = P(t_2) = P_2$.
Следовательно, отображение $f$ инъективно.

2. Сюръективность.
Возьмём произвольную точку $Q$ на отрезке $BD$. По определению, для неё существует такое значение параметра $s \in [0, 1]$, что $Q = Q(s) = (5-5s, 8s)$.
Нам нужно показать, что существует точка $P$ на $AC$ такая, что $f(P) = Q$.
Рассмотрим точку $P = P(s) = (2-2s, s)$ на отрезке $AC$, соответствующую тому же значению параметра $s$. Эта точка действительно лежит на $AC$, так как $s \in [0, 1]$.
По определению нашего отображения, $f(P(s)) = Q(s) = Q$.
Таким образом, для любой точки на отрезке $BD$ мы нашли прообраз на отрезке $AC$.
Следовательно, отображение $f$ сюръективно.

Поскольку мы построили биективное отображение между множествами точек отрезков $AC$ и $BD$, эти множества равномощны.

Ответ: Множества точек отрезков AC и BD равномощны, так как между ними существует биекция.