Номер 5, страница 26 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Самостоятельные работы - номер 5, страница 26.

Условие.

Самостоятельная работа № 5

Рациональные дроби

1. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $ \frac{x-5}{x+5} $

2) $ \frac{5}{|x|-2} $

3) $ \frac{7}{b+2} - \frac{5b}{b-5} $

4) $ \frac{3}{3 - \frac{3}{x}} $

2. Запишите рациональную дробь, содержащую переменную $x$, допустимыми значениями которой являются все числа, кроме -1, 0 и 1.

3. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной $b$ значение дроби:

1) $ \frac{14b - b^2 - 50}{b^2 + 2b + 1} $ отрицательное;

2) $ \frac{b^2 - 16b + 64}{b^6 + 1} $ неотрицательное.

4. Известно, что $2x - 4y = 5$. Найдите значение выражения:

1) $ \frac{4}{3x - 6y} $

2) $ \frac{10}{4y^2 - 4xy + x^2} $

Решение.

1. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) Выражение $\frac{x-5}{x+5}$ является рациональной дробью. Оно имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.
Найдем значение переменной, при котором знаменатель обращается в ноль:
$x+5=0$
$x=-5$
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме -5.
Ответ: $x \neq -5$.

2) Выражение $\frac{5}{|x|-2}$ имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:
$|x|-2=0$
$|x|=2$
Это уравнение имеет два корня: $x=2$ и $x=-2$.
Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме 2 и -2.
Ответ: $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

3) Выражение $\frac{7}{b+2} - \frac{5b}{b-5}$ является разностью двух дробей. Оно имеет смысл, когда знаменатель каждой из дробей не равен нулю.
Для первой дроби: $b+2 \neq 0 \Rightarrow b \neq -2$.
Для второй дроби: $b-5 \neq 0 \Rightarrow b \neq 5$.
Оба условия должны выполняться одновременно. Выражение имеет смысл при всех значениях $b$, кроме -2 и 5.
Ответ: $b \neq -2$ и $b \neq 5$.

4) В выражении $\frac{3}{3-\frac{3}{x}}$ есть два знаменателя, которые не должны равняться нулю.
1. Знаменатель внутренней дроби $\frac{3}{x}$ не равен нулю, то есть $x \neq 0$.
2. Знаменатель основной дроби $3-\frac{3}{x}$ не равен нулю.
Решим уравнение $3-\frac{3}{x}=0$:
$3 = \frac{3}{x}$
$3x = 3$
$x = 1$
Следовательно, $x \neq 1$.
Объединяя оба условия, получаем, что выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме 0 и 1.
Ответ: $x \neq 0$ и $x \neq 1$.

2. Запишите рациональную дробь, содержащую переменную x, допустимыми значениями которой являются все числа, кроме -1, 0 и 1.

Чтобы дробь была не определена при $x=-1$, $x=0$ и $x=1$, ее знаменатель должен обращаться в ноль в этих точках. Это означает, что множители $(x-(-1))$, $(x-0)$ и $(x-1)$ должны присутствовать в знаменателе.
Следовательно, множителями знаменателя являются $(x+1)$, $x$ и $(x-1)$.
Составим знаменатель, перемножив эти множители:
$x(x+1)(x-1) = x(x^2 - 1) = x^3 - x$.
В качестве числителя можно взять любое число, например 1.
Пример такой дроби: $\frac{1}{x(x+1)(x-1)}$.
Ответ: $\frac{1}{x(x+1)(x-1)}$.

3. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной b значение дроби:

1) $\frac{14b - b^2 - 50}{b^2 + 2b + 1}$ отрицательное
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен равняться нулю:
$b^2 + 2b + 1 \neq 0 \Rightarrow (b+1)^2 \neq 0 \Rightarrow b \neq -1$.
При $b \neq -1$ знаменатель $(b+1)^2$ всегда строго положителен.
Рассмотрим числитель: $14b - b^2 - 50 = -(b^2 - 14b + 50)$.
Выделим полный квадрат: $-(b^2 - 14b + 49 + 1) = -((b-7)^2 + 1)$.
Так как $(b-7)^2 \geq 0$, то $(b-7)^2 + 1 \geq 1$, следовательно, выражение $(b-7)^2 + 1$ всегда строго положительно.
Значит, числитель $-((b-7)^2 + 1)$ всегда строго отрицателен.
Дробь, у которой числитель отрицателен, а знаменатель положителен, всегда отрицательна. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

2) $\frac{b^2 - 16b + 64}{b^6 + 1}$ неотрицательное
Знаменатель $b^6 + 1$ всегда положителен, так как $b^6 \geq 0$ для любого $b$, а значит $b^6+1 \geq 1$. Следовательно, ОДЗ - все действительные числа.
Числитель $b^2 - 16b + 64$ является полным квадратом разности: $(b-8)^2$.
Квадрат любого числа всегда неотрицателен, то есть $(b-8)^2 \geq 0$.
Дробь $\frac{(b-8)^2}{b^6+1}$ является отношением неотрицательного числа к положительному, поэтому ее значение всегда неотрицательно. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

4. Известно, что $2x - 4y = 5$. Найдите значение выражения:

Преобразуем данное равенство $2x - 4y = 5$. Вынесем 2 за скобки в левой части:
$2(x - 2y) = 5$
Отсюда получаем:
$x - 2y = \frac{5}{2}$

1) $\frac{4}{3x - 6y}$
Преобразуем знаменатель выражения, вынеся за скобки 3:
$3x - 6y = 3(x - 2y)$.
Подставим значение $x-2y = \frac{5}{2}$:
$3(x - 2y) = 3 \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{2}$.
Теперь найдем значение всего выражения:
$\frac{4}{3x - 6y} = \frac{4}{\frac{15}{2}} = 4 \cdot \frac{2}{15} = \frac{8}{15}$.
Ответ: $\frac{8}{15}$.

2) $\frac{10}{4y^2 - 4xy + x^2}$
Преобразуем знаменатель выражения. Заметим, что это полный квадрат разности:
$4y^2 - 4xy + x^2 = x^2 - 4xy + 4y^2 = (x - 2y)^2$.
Подставим значение $x-2y = \frac{5}{2}$:
$(x - 2y)^2 = (\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$.
Теперь найдем значение всего выражения:
$\frac{10}{(x-2y)^2} = \frac{10}{\frac{25}{4}} = 10 \cdot \frac{4}{25} = \frac{40}{25} = \frac{8}{5}$.
Ответ: $\frac{8}{5}$.