Номер 15, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Самостоятельные работы - номер 15, страница 32.

Условие.

Самостоятельная работа № 15

Функция $y = \frac{k}{x}$ и её график

1. Дана функция $y = \frac{18}{x}$. Найдите:

1) значение функции, если значение аргумента равно $-2$;

2) значение аргумента, при котором значение функции равно $6$.

2. Найдите значение $k$, при котором график функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку $A(-3; 4)$.

3. Постройте в одной системе координат графики функций $y = \frac{8}{x}$ и $y = x + 7$ и запишите координаты точек их пересечения.

4. Постройте график функции:

1) $y = \frac{3}{|x|}$;

2) $y = \begin{cases} -\frac{6}{x}, & \text{если } x \le -2 \\ x+5, & \text{если } x > -2 \end{cases}$;

3) $y = \frac{5x - 5}{x^2 - x}$.

5. Постройте график уравнения:

1) $(xy + 1)(y - 2) = 0$;

2) $\frac{xy + 1}{y - 2} = 0$.

Решение.

1.

Дана функция $y = \frac{18}{x}$.

1) Чтобы найти значение функции, если значение аргумента равно –2, нужно подставить $x = -2$ в формулу функции:

$y = \frac{18}{-2} = -9$.

Ответ: -9.

2) Чтобы найти значение аргумента, при котором значение функции равно 6, нужно подставить $y = 6$ в формулу функции и решить уравнение:

$6 = \frac{18}{x}$

Умножим обе части на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):

$6x = 18$

$x = \frac{18}{6}$

$x = 3$

Ответ: 3.

2.

График функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку A(–3; 4). Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению функции. Подставим значения $x = -3$ и $y = 4$ в формулу:

$4 = \frac{k}{-3}$

Чтобы найти $k$, умножим обе части уравнения на –3:

$k = 4 \cdot (-3)$

$k = -12$

Ответ: $k = -12$.

3.

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций $y = \frac{8}{x}$ и $y = x + 7$, нужно приравнять правые части их уравнений:

$\frac{8}{x} = x + 7$

Так как $x=0$ не является решением, умножим обе части уравнения на $x$:

$8 = x(x+7)$

$8 = x^2 + 7x$

$x^2 + 7x - 8 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета. Сумма корней равна –7, а их произведение равно –8. Подбором находим корни:

$x_1 = 1$, $x_2 = -8$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня, подставив их в уравнение прямой $y = x + 7$:

При $x_1 = 1$: $y_1 = 1 + 7 = 8$. Точка пересечения (1; 8).

При $x_2 = -8$: $y_2 = -8 + 7 = -1$. Точка пересечения (–8; –1).

График функции $y = \frac{8}{x}$ — это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях. График функции $y = x + 7$ — это прямая, проходящая через точки (0; 7) и (–7; 0).

Ответ: (1; 8), (–8; –1).

4.

1) $y = \frac{3}{|x|}$

Область определения функции: $x \neq 0$.

Так как $|x| \ge 0$, то и $y > 0$ для всех $x$ из области определения. График функции расположен выше оси Ox.

Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{3}{|-x|} = \frac{3}{|x|} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy.

Построим часть графика для $x > 0$. В этом случае $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \frac{3}{x}$. Это ветвь гиперболы в I координатной четверти.

Вторую часть графика для $x < 0$ получаем, отразив построенную часть симметрично относительно оси Oy. Эта часть графика представляет собой ветвь гиперболы в II координатной четверти.

2) $y = \begin{cases} -\frac{6}{x}, & \text{если } x \le -2 \\ x+5, & \text{если } x > -2 \end{cases}$

Это кусочно-заданная функция. Ее график состоит из двух частей.

Первая часть: график функции $y = -\frac{6}{x}$ на промежутке $(-\infty; -2]$. Это часть гиперболы, ветви которой расположены во II и IV четвертях. Нас интересует часть ветви во II четверти. Крайняя точка этого куска графика соответствует $x = -2$: $y = -\frac{6}{-2} = 3$. Точка (–2; 3) принадлежит графику.

Вторая часть: график функции $y = x + 5$ на промежутке $(-2; +\infty)$. Это луч, выходящий из точки с абсциссой $x = -2$. Найдем ординату этой точки: $y = -2 + 5 = 3$. Точка (–2; 3) является началом луча, но сама ему не принадлежит (обозначается выколотой точкой).

Так как в точке $x = -2$ значения обеих функций совпадают, график является непрерывным. Он состоит из части гиперболы, переходящей в точке (–2; 3) в луч.

3) $y = \frac{5x-5}{x^2-x}$

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю:

$x^2 - x \neq 0 \implies x(x - 1) \neq 0 \implies x \neq 0 \text{ и } x \neq 1$.

Теперь упростим выражение, вынеся общие множители:

$y = \frac{5(x-1)}{x(x-1)}$

При $x \neq 1$ мы можем сократить дробь на $(x-1)$:

$y = \frac{5}{x}$

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \frac{5}{x}$ (гипербола с ветвями в I и III четвертях) за исключением точки с абсциссой $x=1$.

Найдем координаты этой "выколотой" точки. Подставим $x=1$ в упрощенную формулу:

$y = \frac{5}{1} = 5$.

Графиком является гипербола $y = \frac{5}{x}$ с выколотой точкой (1; 5).

5.

1) $(xy + 1)(y - 2) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Рассматриваем два случая:

a) $xy + 1 = 0 \implies xy = -1 \implies y = -\frac{1}{x}$. Это уравнение задает гиперболу с ветвями во II и IV координатных четвертях.

б) $y - 2 = 0 \implies y = 2$. Это уравнение задает горизонтальную прямую, параллельную оси Ox и проходящую через точку (0; 2).

График исходного уравнения представляет собой объединение этих двух графиков: гиперболы $y = -\frac{1}{x}$ и прямой $y = 2$.

2) $\frac{xy + 1}{y - 2} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Условие для числителя: $xy + 1 = 0 \implies xy = -1 \implies y = -\frac{1}{x}$.

Условие для знаменателя: $y - 2 \neq 0 \implies y \neq 2$.

Таким образом, график уравнения — это график гиперболы $y = -\frac{1}{x}$, из которого исключены все точки, у которых ордината равна 2.

Найдем абсциссу точки на гиперболе, где $y = 2$:

$2 = -\frac{1}{x} \implies 2x = -1 \implies x = -0.5$.

Следовательно, точка (–0.5; 2) должна быть исключена из графика.

Графиком является гипербола $y = -\frac{1}{x}$ с выколотой точкой (–0.5; 2).