Номер 17, страница 33 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Самостоятельные работы - номер 17, страница 33.

Условие.

Самостоятельная работа № 17

Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства

1. Найдите неполное частное и остаток при делении числа $m$ на число $n$:

1) $m = 5, n = 43$;

2) $m = -72, n = 23$.

2. Число $a$ при делении на 3 даёт в остатке 2, а при делении на 5 даёт в остатке 3. Найдите остаток при делении числа $a$ на 15.

3. Известно, что $a \equiv -2 \pmod 8$, $b \equiv -5 \pmod 8$. Найдите остаток при делении на 8 числа:

1) $2b - 3a$;

2) $ab$;

3) $b^2$.

4. Решите в целых числах уравнение $y^2 - 8x = 3$.

5. Докажите, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения $21^n + 9 \cdot 13^n - 2 \cdot 5^{n+1}$ кратно 8.

6. Найдите остаток при делении числа $3^{86}$ на число 5.

Решение.

1.

1) Для $m = 5, n = 43$.

Согласно определению деления с остатком, мы ищем целые числа $q$ (неполное частное) и $r$ (остаток) такие, что $m = qn + r$ и $0 \le r < |n|$.
В данном случае $5 = 0 \cdot 43 + 5$.
Неполное частное $q = 0$, остаток $r = 5$. Условие $0 \le 5 < 43$ выполняется.
Ответ: неполное частное 0, остаток 5.

2) Для $m = -72, n = 23$.

Ищем представление $-72 = q \cdot 23 + r$ с условием $0 \le r < 23$.
Чтобы остаток $r$ был неотрицательным, частное $q$ должно быть таким, чтобы $q \cdot 23$ было меньше, чем $-72$.
Возьмем $q = -4$. Тогда: $-72 = (-4) \cdot 23 + r$.
$-72 = -92 + r$.
$r = 92 - 72 = 20$.
Условие $0 \le 20 < 23$ выполняется. Таким образом, неполное частное $q = -4$, а остаток $r = 20$.
Ответ: неполное частное -4, остаток 20.

2.

Из условий задачи следует система сравнений:
$a \equiv 2 \pmod{3}$
$a \equiv 3 \pmod{5}$

Из первого сравнения $a = 3k + 2$ для некоторого целого $k$. Подставим это во второе сравнение:
$3k + 2 \equiv 3 \pmod{5}$
$3k \equiv 1 \pmod{5}$

Чтобы найти $k$, умножим обе части сравнения на число, которое в произведении с 3 дает остаток 1 при делении на 5. Таким числом является 2, так как $3 \cdot 2 = 6 \equiv 1 \pmod{5}$.
$2 \cdot (3k) \equiv 2 \cdot 1 \pmod{5}$
$6k \equiv 2 \pmod{5}$
$k \equiv 2 \pmod{5}$

Отсюда $k = 5m + 2$ для некоторого целого $m$. Подставим это выражение обратно в формулу для $a$:
$a = 3(5m + 2) + 2 = 15m + 6 + 2 = 15m + 8$.
Это означает, что при делении числа $a$ на 15 получается остаток 8.
Ответ: 8.

3.

Даны сравнения: $a \equiv -2 \pmod{8}$ и $b \equiv -5 \pmod{8}$.
Найдем наименьшие неотрицательные остатки:
$a \equiv -2 + 8 \pmod{8} \implies a \equiv 6 \pmod{8}$.
$b \equiv -5 + 8 \pmod{8} \implies b \equiv 3 \pmod{8}$.

1) $2b - 3a$.
Используя свойства сравнений, подставим найденные остатки:
$2b - 3a \equiv 2 \cdot 3 - 3 \cdot 6 \pmod{8}$
$2b - 3a \equiv 6 - 18 \pmod{8}$
$2b - 3a \equiv -12 \pmod{8}$
Чтобы найти остаток, прибавим к $-12$ число, кратное 8, пока не получим неотрицательное число, меньшее 8: $-12 + 16 = 4$.
Таким образом, $2b - 3a \equiv 4 \pmod{8}$.
Ответ: 4.

2) $ab$.
$ab \equiv 6 \cdot 3 \pmod{8}$
$ab \equiv 18 \pmod{8}$
$18 = 2 \cdot 8 + 2$, поэтому $18 \equiv 2 \pmod{8}$.
Ответ: 2.

3) $b^2$.
$b^2 \equiv 3^2 \pmod{8}$
$b^2 \equiv 9 \pmod{8}$
$9 = 1 \cdot 8 + 1$, поэтому $9 \equiv 1 \pmod{8}$.
Ответ: 1.

4.

Рассмотрим уравнение $y^2 - 8x = 3$. Перепишем его как $y^2 = 8x + 3$.
Из этого уравнения следует, что $y^2$ при делении на 8 дает в остатке 3. То есть, $y^2 \equiv 3 \pmod{8}$.
Проверим, какие остатки могут давать квадраты целых чисел при делении на 8. Для этого рассмотрим все возможные остатки числа $y$ по модулю 8:
$0^2 \equiv 0 \pmod{8}$
$1^2 \equiv 1 \pmod{8}$
$2^2 \equiv 4 \pmod{8}$
$3^2 = 9 \equiv 1 \pmod{8}$
$4^2 = 16 \equiv 0 \pmod{8}$
$5^2 = 25 \equiv 1 \pmod{8}$
$6^2 = 36 \equiv 4 \pmod{8}$
$7^2 = 49 \equiv 1 \pmod{8}$
Возможные остатки от деления квадрата целого числа на 8 — это 0, 1 и 4. Остаток 3 невозможен. Следовательно, не существует целого числа $y$, удовлетворяющего условию $y^2 \equiv 3 \pmod{8}$, а значит, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.
Ответ: решений в целых числах нет.

5.

Нужно доказать, что выражение $21^n + 9 \cdot 13^n - 2 \cdot 5^{n+1}$ кратно 8 для любого натурального $n$. Это то же самое, что доказать $21^n + 9 \cdot 13^n - 2 \cdot 5^{n+1} \equiv 0 \pmod{8}$.
Рассмотрим каждый член выражения по модулю 8:
$21 = 2 \cdot 8 + 5 \implies 21 \equiv 5 \pmod{8}$, значит $21^n \equiv 5^n \pmod{8}$.
$9 = 1 \cdot 8 + 1 \implies 9 \equiv 1 \pmod{8}$.
$13 = 1 \cdot 8 + 5 \implies 13 \equiv 5 \pmod{8}$, значит $13^n \equiv 5^n \pmod{8}$.
$2 \cdot 5^{n+1} = 10 \cdot 5^n$. Так как $10 = 1 \cdot 8 + 2 \implies 10 \equiv 2 \pmod{8}$, то $2 \cdot 5^{n+1} \equiv 2 \cdot 5^n \pmod{8}$.

Подставим эти сравнения в исходное выражение:
$21^n + 9 \cdot 13^n - 2 \cdot 5^{n+1} \equiv 5^n + 1 \cdot 5^n - 2 \cdot 5^n \pmod{8}$
$\equiv 5^n + 5^n - 2 \cdot 5^n \pmod{8}$
$\equiv 2 \cdot 5^n - 2 \cdot 5^n \pmod{8}$
$\equiv 0 \pmod{8}$
Выражение сравнимо с нулем по модулю 8, следовательно, оно кратно 8 при любом натуральном $n$.
Ответ: доказано.

6.

Чтобы найти остаток при делении числа $3^{86}$ на 5, найдем $3^{86} \pmod{5}$.
Рассмотрим степени числа 3 по модулю 5:
$3^1 \equiv 3 \pmod{5}$
$3^2 \equiv 9 \equiv 4 \pmod{5}$
$3^3 \equiv 3^2 \cdot 3 \equiv 4 \cdot 3 = 12 \equiv 2 \pmod{5}$
$3^4 \equiv 3^3 \cdot 3 \equiv 2 \cdot 3 = 6 \equiv 1 \pmod{5}$
Остатки повторяются с периодом 4. Чтобы найти остаток для $3^{86}$, найдем остаток от деления показателя 86 на длину периода 4.
$86 \div 4 = 21$ с остатком 2. То есть, $86 = 4 \cdot 21 + 2$.
Следовательно, $3^{86}$ имеет такой же остаток при делении на 5, как и $3^2$.
$3^{86} = 3^{4 \cdot 21 + 2} = (3^4)^{21} \cdot 3^2 \equiv 1^{21} \cdot 3^2 \equiv 1 \cdot 9 \equiv 9 \equiv 4 \pmod{5}$.
Остаток от деления равен 4.
Ответ: 4.