Номер 21, страница 35 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 21, страница 35.

Условие.

Самостоятельная работа № 21

Числовые неравенства и их свойства

1. Сравните числа $c$ и $d$, если:

1) $c = d - 0,9;$

2) $d = c + 0,1;$

2. Известно, что $m < n$. Сравните:

1) $n - 3$ и $m - 3;$

2) $-20m$ и $-20n;$

3) $\frac{m}{8}$ и $\frac{n}{8}$.

3. Известно, что $n < m$. Сравните:

1) $n - 5$ и $m;$

2) $m + 6$ и $n;$

3) $-n + 4$ и $-m + 4;$

4) $n + 3$ и $m - 2.$

4. Сравните числа $m$ и $0$, если:

1) $9m < 7m;$

2) $\frac{m}{6} > \frac{m}{11};$

3) $-4m < -13m;$

4) $-\frac{m}{30} < -\frac{m}{15}.$

5. Дано: $x < 0$ и $y > 0$. Сравните:

1) $x - y$ и $0;$

2) $x - y$ и $y;$

3) $2y - 5x$ и $x;$

4) $\frac{1}{4x - 3y}$ и $y.$

6. Известно, что $4 < b < 7$. Докажите, что:

1) $-8 < 13 - 3b < 1;$

2) $\frac{1}{9} < \frac{1}{2b - 5} < \frac{1}{3}.$

Решение.

1.

1) Из равенства $c = d - 0,9$ следует, что разность $c - d = -0,9$ отрицательна. Следовательно, $c < d$. Ответ: $c < d$.

2) Из равенства $d = c + 0,1$ следует, что разность $d - c = 0,1$ положительна. Следовательно, $d > c$. Ответ: $c < d$.

2.

1) Согласно свойству неравенств, при вычитании одного и того же числа из обеих частей верного неравенства знак неравенства сохраняется. Так как $m < n$, то $m - 3 < n - 3$. Ответ: $m - 3 < n - 3$.

2) Согласно свойству неравенств, при умножении обеих частей верного неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Так как $m < n$, то при умножении на -20 получаем $-20m > -20n$. Ответ: $-20m > -20n$.

3) Согласно свойству неравенств, при делении обеих частей верного неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется. Так как $m < n$, то при делении на 8 получаем $\frac{m}{8} < \frac{n}{8}$. Ответ: $\frac{m}{8} < \frac{n}{8}$.

3.

1) По условию $n < m$. Так как $n - 5 < n$, то по свойству транзитивности неравенств ($n - 5 < n$ и $n < m$) следует, что $n - 5 < m$. Ответ: $n - 5 < m$.

2) По условию $n < m$. Так как $m < m + 6$, то по свойству транзитивности неравенств ($n < m$ и $m < m + 6$) следует, что $n < m + 6$. Ответ: $m + 6 > n$.

3) Известно, что $n < m$. Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак на противоположный: $-n > -m$. Теперь прибавим к обеим частям число 4: $-n + 4 > -m + 4$. Ответ: $-n + 4 > -m + 4$.

4) Рассмотрим разность выражений: $(m - 2) - (n + 3) = m - n - 5$. По условию $n < m$, значит $m - n > 0$. Однако, разность $m - n$ может быть как больше 5, так и меньше или равна 5. Например, если $m=10, n=1$, то $m-2>n+3$. Если $m=5, n=4$, то $m-2<n+3$. Поэтому однозначно сравнить выражения нельзя. Ответ: Сравнить невозможно.

4.

1) Перенесем $7m$ в левую часть неравенства: $9m - 7m < 0$, что дает $2m < 0$. Разделив обе части на 2, получаем $m < 0$. Ответ: $m < 0$.

2) Перенесем $\frac{m}{11}$ в левую часть: $\frac{m}{6} - \frac{m}{11} > 0$. Приведя к общему знаменателю, получаем $\frac{11m - 6m}{66} > 0$, или $\frac{5m}{66} > 0$. Умножив на $\frac{66}{5}$, получаем $m > 0$. Ответ: $m > 0$.

3) Перенесем $-13m$ в левую часть: $-4m + 13m < 0$, что дает $9m < 0$. Разделив на 9, получаем $m < 0$. Ответ: $m < 0$.

4) Перенесем $-\frac{m}{30}$ в правую часть: $0 < \frac{m}{15} + \frac{m}{30}$. Приведя к общему знаменателю, получаем $0 < \frac{2m+m}{30}$, или $0 < \frac{3m}{30}$, что упрощается до $0 < \frac{m}{10}$. Умножив на 10, получаем $m > 0$. Ответ: $m > 0$.

5.

1) Дано $x < 0$ и $y > 0$. Выражение $x - y$ представляет собой разность отрицательного числа и положительного. Это эквивалентно сумме двух отрицательных чисел: $x + (-y)$, так как $-y < 0$. Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна, следовательно, $x - y < 0$. Ответ: $x - y < 0$.

2) Из предыдущего пункта мы знаем, что $x - y < 0$. По условию $y > 0$. Любое отрицательное число меньше любого положительного, поэтому $x - y < y$. Ответ: $x - y < y$.

3) Рассмотрим разность $(2y - 5x) - x = 2y - 6x$. По условию $y > 0$, значит $2y > 0$. По условию $x < 0$, значит $-6x > 0$. Сумма двух положительных слагаемых ($2y$ и $-6x$) положительна, то есть $2y - 6x > 0$. Следовательно, $2y - 5x > x$. Ответ: $2y - 5x > x$.

4) Оценим знак знаменателя $4x - 3y$. Так как $x < 0$, то $4x < 0$. Так как $y > 0$, то $-3y < 0$. Знаменатель является суммой двух отрицательных чисел, поэтому $4x - 3y < 0$. Дробь $\frac{1}{4x - 3y}$ с положительным числителем и отрицательным знаменателем отрицательна. По условию $y > 0$. Следовательно, $\frac{1}{4x - 3y} < y$. Ответ: $\frac{1}{4x - 3y} < y$.

6.

1) Доказательство: Начнем с данного двойного неравенства $4 < b < 7$. Умножим все части на -3, изменив знаки неравенства на противоположные: $4 \cdot (-3) > -3b > 7 \cdot (-3)$, что дает $-12 > -3b > -21$. Перепишем в порядке возрастания: $-21 < -3b < -12$. Прибавим 13 ко всем частям: $-21 + 13 < 13 - 3b < -12 + 13$. Вычисляя, получаем $-8 < 13 - 3b < 1$. Что и требовалось доказать. Ответ: Неравенство доказано.

2) Доказательство: Начнем с неравенства $4 < b < 7$. Умножим все части на 2: $8 < 2b < 14$. Вычтем 5 из всех частей: $8 - 5 < 2b - 5 < 14 - 5$, что дает $3 < 2b - 5 < 9$. Все части этого неравенства положительны. Возьмем обратные величины от каждой части, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные: $\frac{1}{3} > \frac{1}{2b-5} > \frac{1}{9}$. Переписав в порядке возрастания, получаем $\frac{1}{9} < \frac{1}{2b - 5} < \frac{1}{3}$. Что и требовалось доказать. Ответ: Неравенство доказано.