Номер 27, страница 38 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Самостоятельные работы - номер 27, страница 38.

Условие.

Самостоятельная работа № 27

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень

1. Найдите значение выражения:

1) $4\sqrt{0.49} - \sqrt{8^2 + 15^2}$;

2) $32 \cdot \left(-\frac{1}{2}\sqrt{11}\right)^2 - \frac{1}{3} \cdot (7\sqrt{15})^2$.

2. Решите уравнение:

1) $\frac{1}{2}\sqrt{x} + 3 = 0$;

2) $\sqrt{5x - 6} = 0$;

3) $\frac{12}{\sqrt{x - 3}} = 4$;

4) $(x + 5)^2 = 2$.

3. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{x + 6} + \sqrt{3 - x}$;

2) $y = \sqrt{|x| - 2} + \frac{1}{\sqrt{x - 3}}$.

4. Постройте график функции:

$y = (\sqrt{x + 2})^2 - 2$.

5. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x(x - 4)} < 0$;

2) $\sqrt{x(x - 4)} \ge 0$.

6. При каких значениях параметра $a$ уравнение $(x - 3)(\sqrt{x} - a) = 0$ имеет два корня?

Решение.

1. Найдите значение выражения:

1) $4\sqrt{0,49} - \sqrt{8^2 + 15^2}$

Выполним вычисления по шагам:
1. $\sqrt{0,49} = 0,7$.
2. $8^2 = 64$.
3. $15^2 = 225$.
4. $\sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$.
5. Подставляем найденные значения в исходное выражение: $4 \cdot 0,7 - 17 = 2,8 - 17 = -14,2$.
Ответ: $-14,2$.

2) $32 \cdot (-\frac{1}{2}\sqrt{11})^2 - \frac{1}{3} \cdot (7\sqrt{15})^2$

Вычислим значение каждого слагаемого отдельно:
1. $32 \cdot (-\frac{1}{2}\sqrt{11})^2 = 32 \cdot ((-\frac{1}{2})^2 \cdot (\sqrt{11})^2) = 32 \cdot (\frac{1}{4} \cdot 11) = \frac{32 \cdot 11}{4} = 8 \cdot 11 = 88$.
2. $\frac{1}{3} \cdot (7\sqrt{15})^2 = \frac{1}{3} \cdot (7^2 \cdot (\sqrt{15})^2) = \frac{1}{3} \cdot (49 \cdot 15) = \frac{49 \cdot 15}{3} = 49 \cdot 5 = 245$.
3. Вычитаем второе из первого: $88 - 245 = -157$.
Ответ: $-157$.

2. Решите уравнение:

1) $\frac{1}{2}\sqrt{x} + 3 = 0$

Перенесем 3 в правую часть уравнения:
$\frac{1}{2}\sqrt{x} = -3$
Умножим обе части на 2:
$\sqrt{x} = -6$
Арифметический квадратный корень не может быть отрицательным числом, следовательно, уравнение не имеет решений в действительных числах.
Ответ: корней нет.

2) $\sqrt{5x - 6} = 0$

Чтобы корень был равен нулю, подкоренное выражение должно быть равно нулю:
$5x - 6 = 0$
$5x = 6$
$x = \frac{6}{5} = 1,2$
Проверим область допустимых значений: $5x - 6 \ge 0$, $5 \cdot 1,2 - 6 = 6 - 6 = 0$. Условие выполняется.
Ответ: $1,2$.

3) $\frac{12}{\sqrt{x} - 3} = 4$

Область допустимых значений (ОДЗ): подкоренное выражение $x \ge 0$, и знаменатель не равен нулю $\sqrt{x} - 3 \ne 0$, т.е. $\sqrt{x} \ne 3$, $x \ne 9$.
Умножим обе части на знаменатель $\sqrt{x} - 3$:
$12 = 4(\sqrt{x} - 3)$
Разделим обе части на 4:
$3 = \sqrt{x} - 3$
$\sqrt{x} = 6$
Возведем обе части в квадрат:
$x = 36$
Корень $x=36$ удовлетворяет ОДЗ ($36 \ge 0$ и $36 \ne 9$).
Ответ: $36$.

4) $(x + 5)^2 = 2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x + 5 = \pm\sqrt{2}$
Отсюда получаем два корня:
$x_1 = -5 + \sqrt{2}$
$x_2 = -5 - \sqrt{2}$
Ответ: $-5 \pm \sqrt{2}$.

3. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{x + 6} + \sqrt{3 - x}$

Область определения функции задается системой неравенств, так как подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x + 6 \ge 0 \\ 3 - x \ge 0 \end{cases}$
Решаем систему:
$\begin{cases} x \ge -6 \\ x \le 3 \end{cases}$
Общим решением является промежуток $-6 \le x \le 3$.
Ответ: $[-6; 3]$.

2) $y = \sqrt{|x| - 2} + \frac{1}{\sqrt{x - 3}}$

Область определения функции задается системой неравенств:
1. Выражение под первым корнем неотрицательно: $|x| - 2 \ge 0$.
2. Выражение под вторым корнем (в знаменателе) строго положительно: $x - 3 > 0$.
Решаем систему:
$\begin{cases} |x| \ge 2 \\ x > 3 \end{cases}$
Первое неравенство $|x| \ge 2$ равносильно совокупности $x \le -2$ или $x \ge 2$.
Найдем пересечение решений: $(x \le -2 \text{ или } x \ge 2)$ и $x > 3$.
Пересечением является промежуток $x > 3$.
Ответ: $(3; +\infty)$.

4. Постройте график функции $y = (\sqrt{x + 2})^2 - 2$.

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x + 2 \ge 0$, откуда $x \ge -2$. Таким образом, $D(y) = [-2; +\infty)$.
2. Упростим формулу функции. Для всех $x$ из области определения выполняется равенство $(\sqrt{x + 2})^2 = x + 2$.
$y = (x + 2) - 2 = x$.
3. Таким образом, график функции $y = (\sqrt{x + 2})^2 - 2$ совпадает с графиком функции $y = x$ при условии $x \ge -2$.
4. Графиком является луч, выходящий из точки $(-2, -2)$ (точка включена) и проходящий через точки, например, $(0, 0)$ и $(1, 1)$. Это часть прямой $y = x$, ограниченная слева точкой $(-2, -2)$.
Ответ: Графиком функции является луч прямой $y=x$, начинающийся в точке $(-2; -2)$.

5. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x}(x - 4) < 0$

1. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 0$.
2. Значение $\sqrt{x}$ неотрицательно для всех $x$ из ОДЗ. Произведение будет отрицательным, только если один множитель положителен, а другой отрицателен.
3. Если $x=0$, то $0 \cdot (0-4) < 0 \Rightarrow 0 < 0$, что неверно. Значит, $x \ne 0$.
4. Если $x > 0$, то $\sqrt{x} > 0$. Чтобы произведение было отрицательным, второй множитель должен быть отрицательным: $x - 4 < 0 \Rightarrow x < 4$.
5. Объединяем условия $x > 0$ и $x < 4$, получаем $0 < x < 4$.
Ответ: $(0; 4)$.

2) $\sqrt{x}(x - 4) \ge 0$

1. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 0$.
2. Неравенство выполняется, если один из множителей равен нулю или если оба множителя имеют одинаковый знак (в данном случае, оба неотрицательны, так как $\sqrt{x} \ge 0$).
3. Случай равенства: $\sqrt{x}(x - 4) = 0$. Это происходит при $\sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0$ или при $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$. Оба значения входят в ОДЗ.
4. Случай строгого неравенства: $\sqrt{x}(x - 4) > 0$. Так как для $x>0$ множитель $\sqrt{x} > 0$, то и второй множитель должен быть положительным: $x - 4 > 0 \Rightarrow x > 4$.
5. Объединяя все полученные решения ($x=0$, $x=4$ и $x>4$), получаем $x=0$ или $x \ge 4$.
Ответ: $\{0\} \cup [4; +\infty)$.

6. При каких значениях параметра $a$ уравнение $(x - 3)(\sqrt{x} - a) = 0$ имеет два корня?

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Область допустимых значений уравнения определяется наличием $\sqrt{x}$, поэтому $x \ge 0$.
1. $x - 3 = 0 \Rightarrow x_1 = 3$. Этот корень действителен, так как $3 \ge 0$. Таким образом, один корень у уравнения есть всегда.
2. $\sqrt{x} - a = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = a$.
Для того чтобы это уравнение имело решение, необходимо, чтобы $a \ge 0$, так как арифметический корень не может быть отрицательным. Если $a < 0$, то второе уравнение корней не имеет, и исходное уравнение имеет только один корень $x=3$.
При $a \ge 0$, второе уравнение дает корень $x_2 = a^2$.
3. Исходное уравнение имеет два корня, если корень $x_2$ существует и не совпадает с корнем $x_1$.
Условие существования второго корня: $a \ge 0$.
Условие, что корни различны: $x_1 \ne x_2 \Rightarrow 3 \ne a^2$.
Отсюда $a \ne \sqrt{3}$ и $a \ne -\sqrt{3}$. Так как мы уже установили, что $a \ge 0$, то остается только условие $a \ne \sqrt{3}$.
Итак, для того чтобы уравнение имело два различных корня, параметр $a$ должен удовлетворять двум условиям: $a \ge 0$ и $a \ne \sqrt{3}$.
Ответ: $a \ge 0, a \ne \sqrt{3}$ (или в виде объединения промежутков: $[0; \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)$).