Номер 32, страница 41 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Самостоятельные работы - номер 32, страница 41.

Условие.

Самостоятельная работа № 32

Функция $y=\sqrt{x}$ и её график

1. Постройте в одной системе координат графики функций $y=\sqrt{x}$ и $y=-0,5x+4$ и определите координаты точки их пересечения.

2. Решите неравенство:

1) $\sqrt{2x+3} < 1$;

2) $\sqrt{3x-1} < \sqrt{x+2}$.

3. Постройте график уравнения $(y-\sqrt{x})(y-3)=0$.

4. Решите уравнение $\sqrt{x-1+2\sqrt{x-2}}-\sqrt{x+7-6\sqrt{x-2}}=4$.

Решение.

1.

Для построения графиков функций $y=\sqrt{x}$ и $y=-0,5x+4$ составим таблицы значений.

Для функции $y=\sqrt{x}$ (график — ветвь параболы):
Область определения: $x \ge 0$.

$x$	0	1	4	9
$y$	0	1	2	3

Для функции $y=-0,5x+4$ (график — прямая линия):
Найдём две точки.

$x$	0	8
$y$	4	0

Построим графики в одной системе координат. (Изображение графика не приводится, но его можно представить по точкам).

Чтобы найти координаты точки пересечения, приравняем правые части уравнений:
$\sqrt{x} = -0,5x+4$
Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$2\sqrt{x} = -x+8$
$x + 2\sqrt{x} - 8 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$, причём $t \ge 0$.
$t^2 + 2t - 8 = 0$
Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
$t_1 + t_2 = -2$
$t_1 \cdot t_2 = -8$
Корни: $t_1 = -4$ и $t_2 = 2$.
Корень $t_1 = -4$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Вернёмся к замене:
$\sqrt{x} = 2$
Возведём обе части в квадрат:
$x=4$
Теперь найдём соответствующее значение $y$:
$y = \sqrt{4} = 2$
Проверим по второму уравнению: $y = -0,5 \cdot 4 + 4 = -2 + 4 = 2$.
Координаты точки пересечения (4; 2).

Ответ: (4; 2).

2.

1) $\sqrt{2x+3} < 1$
Сначала найдём область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$2x+3 \ge 0$
$2x \ge -3$
$x \ge -1,5$
Так как обе части неравенства неотрицательны, можем возвести их в квадрат:
$(\sqrt{2x+3})^2 < 1^2$
$2x+3 < 1$
$2x < 1 - 3$
$2x < -2$
$x < -1$
Объединим полученное решение с ОДЗ:
$\begin{cases} x \ge -1,5 \\ x < -1 \end{cases}$
Решением является промежуток $[-1,5; -1)$.

Ответ: $x \in [-1,5; -1)$.

2) $\sqrt{3x-1} < \sqrt{x+2}$
Найдём ОДЗ. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} 3x-1 \ge 0 \\ x+2 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x \ge 1 \\ x \ge -2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge \frac{1}{3} \\ x \ge -2 \end{cases}$
ОДЗ: $x \ge \frac{1}{3}$.
Возведём обе части неравенства в квадрат:
$(\sqrt{3x-1})^2 < (\sqrt{x+2})^2$
$3x-1 < x+2$
$3x - x < 2+1$
$2x < 3$
$x < 1,5$
Объединим решение с ОДЗ:
$\begin{cases} x \ge \frac{1}{3} \\ x < 1,5 \end{cases}$
Решением является промежуток $[\frac{1}{3}; 1,5)$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{3}; 1,5)$.

3.

Уравнение $(y-\sqrt{x})(y-3) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Это уравнение распадается на два:
1) $y - \sqrt{x} = 0 \Rightarrow y = \sqrt{x}$
2) $y - 3 = 0 \Rightarrow y = 3$
Графиком данного уравнения является объединение графиков двух функций: $y = \sqrt{x}$ и $y = 3$.
График $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат, с областью определения $x \ge 0$.
График $y = 3$ — это прямая, параллельная оси Ох, проходящая через точку (0; 3).
Таким образом, искомый график состоит из ветви параболы $y=\sqrt{x}$ и горизонтальной прямой $y=3$. Эти два графика пересекаются в точке, где $\sqrt{x} = 3$, то есть $x=9$. Точка пересечения (9; 3).

Ответ: График уравнения состоит из графика функции $y=\sqrt{x}$ и графика функции $y=3$.

4.

$\sqrt{x-1+2\sqrt{x-2}} - \sqrt{x+7-6\sqrt{x-2}} = 4$
Найдём ОДЗ: $x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$.
Преобразуем подкоренные выражения, выделив полные квадраты, используя формулы $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.
Для первого корня: $x-1+2\sqrt{x-2} = (x-2) + 2\sqrt{x-2} + 1 = (\sqrt{x-2})^2 + 2 \cdot \sqrt{x-2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x-2}+1)^2$.
Для второго корня: $x+7-6\sqrt{x-2} = (x-2) - 6\sqrt{x-2} + 9 = (\sqrt{x-2})^2 - 2 \cdot \sqrt{x-2} \cdot 3 + 3^2 = (\sqrt{x-2}-3)^2$.
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$\sqrt{(\sqrt{x-2}+1)^2} - \sqrt{(\sqrt{x-2}-3)^2} = 4$
Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:
$|\sqrt{x-2}+1| - |\sqrt{x-2}-3| = 4$
Поскольку $\sqrt{x-2} \ge 0$, то $\sqrt{x-2}+1$ всегда положительно. Модуль можно опустить:
$(\sqrt{x-2}+1) - |\sqrt{x-2}-3| = 4$
Рассмотрим два случая для раскрытия второго модуля.
Случай 1: $\sqrt{x-2}-3 \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x-2} \ge 3$.
Возведя в квадрат, получаем $x-2 \ge 9 \Rightarrow x \ge 11$.
В этом случае $|\sqrt{x-2}-3| = \sqrt{x-2}-3$.
Уравнение принимает вид:
$(\sqrt{x-2}+1) - (\sqrt{x-2}-3) = 4$
$\sqrt{x-2}+1 - \sqrt{x-2}+3 = 4$
$4 = 4$
Это верное тождество, значит, решением является весь рассматриваемый промежуток, то есть $x \ge 11$.
Случай 2: $\sqrt{x-2}-3 < 0 \Rightarrow \sqrt{x-2} < 3$.
С учётом ОДЗ ($x \ge 2$), получаем $0 \le \sqrt{x-2} < 3$, что равносильно $2 \le x < 11$.
В этом случае $|\sqrt{x-2}-3| = -(\sqrt{x-2}-3) = 3-\sqrt{x-2}$.
Уравнение принимает вид:
$(\sqrt{x-2}+1) - (3-\sqrt{x-2}) = 4$
$\sqrt{x-2}+1 - 3+\sqrt{x-2} = 4$
$2\sqrt{x-2} - 2 = 4$
$2\sqrt{x-2} = 6$
$\sqrt{x-2} = 3$
Возводим в квадрат: $x-2 = 9 \Rightarrow x=11$.
Однако это значение не входит в рассматриваемый промежуток $2 \le x < 11$. Следовательно, в этом случае решений нет.
Объединяя результаты двух случаев, получаем, что решением уравнения является промежуток $[11, +\infty)$.

Ответ: $x \in [11, +\infty)$.