Номер 38, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Самостоятельные работы - номер 38, страница 44.

Условие.

Самостоятельная работа № 38

Решение уравнений методом замены переменной

1. Решите уравнение:

1) $x^4 - 7x^2 - 18 = 0;$

2) $(x - 3)^4 - 5(x - 3)^2 + 4 = 0.$

2. Решите уравнение $(x^2 - 5x - 2)^2 + 4x^2 - 20x - 40 = 0.$

3. Решите уравнение $\frac{1}{(x - 1)(x + 4)} - \frac{1}{x(x + 3)} = \frac{1}{3}.$

4. Решите уравнение $3\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + 2\left(x + \frac{1}{x}\right) = 10.$

Решение.

1)

Это биквадратное уравнение $x^4 - 7x^2 - 18 = 0$. Для его решения используется метод замены переменной. Пусть $t = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$.

Подставив $t$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 - 7t - 18 = 0$.

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

Корни для $t$:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 11}{2} = 9$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 11}{2} = -2$.

Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним. Рассматриваем только $t_1 = 9$.

Выполним обратную замену: $x^2 = t$.
$x^2 = 9$.
Отсюда $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Ответ: $-3; 3$.

2)

В уравнении $(x - 3)^4 - 5(x - 3)^2 + 4 = 0$ также применим метод замены. Пусть $t = (x-3)^2$. Условие для новой переменной: $t \ge 0$.

После замены получаем квадратное уравнение:
$t^2 - 5t + 4 = 0$.

По теореме Виета, корни этого уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену для каждого корня:

1) $(x-3)^2 = 1$.
$x - 3 = 1$ или $x - 3 = -1$.
$x_1 = 4$, $x_2 = 2$.

2) $(x-3)^2 = 4$.
$x - 3 = 2$ или $x - 3 = -2$.
$x_3 = 5$, $x_4 = 1$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $1; 2; 4; 5$.

2.

Рассмотрим уравнение $(x^2 - 5x - 2)^2 + 4x^2 - 20x - 40 = 0$. Заметим, что часть уравнения можно преобразовать, вынеся общий множитель: $4x^2 - 20x - 40 = 4(x^2 - 5x) - 40$.

Тогда уравнение примет вид:
$(x^2 - 5x - 2)^2 + 4(x^2 - 5x) - 40 = 0$.

Введем замену: пусть $t = x^2 - 5x$. Уравнение преобразуется к виду:
$(t - 2)^2 + 4t - 40 = 0$.

Раскроем скобки и упростим выражение:
$t^2 - 4t + 4 + 4t - 40 = 0$.
$t^2 - 36 = 0$.
$t^2 = 36$.
Отсюда $t_1 = 6$ и $t_2 = -6$.

Сделаем обратную замену для каждого значения $t$:

1) $x^2 - 5x = 6$.
$x^2 - 5x - 6 = 0$.
По теореме Виета, $x_1 = 6$, $x_2 = -1$.

2) $x^2 - 5x = -6$.
$x^2 - 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета, $x_3 = 2$, $x_4 = 3$.

Ответ: $-1; 2; 3; 6$.

3.

В уравнении $\frac{1}{(x-1)(x+4)} - \frac{1}{x(x+3)} = \frac{1}{3}$ сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $x \neq 1$, $x \neq -4$, $x \neq 0$, $x \neq -3$.

Раскроем скобки в знаменателях:
$(x-1)(x+4) = x^2 + 4x - x - 4 = x^2 + 3x - 4$.
$x(x+3) = x^2 + 3x$.

Уравнение принимает вид:
$\frac{1}{x^2 + 3x - 4} - \frac{1}{x^2 + 3x} = \frac{1}{3}$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2 + 3x$. Тогда уравнение станет:
$\frac{1}{t - 4} - \frac{1}{t} = \frac{1}{3}$.

Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{t - (t-4)}{t(t-4)} = \frac{1}{3}$.
$\frac{4}{t(t-4)} = \frac{1}{3}$.

Используя свойство пропорции, получаем:
$t(t-4) = 12$.
$t^2 - 4t - 12 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 6$, $t_2 = -2$.

Выполним обратную замену:

1) $x^2 + 3x = 6 \implies x^2 + 3x - 6 = 0$.
$D = 3^2 - 4(1)(-6) = 9 + 24 = 33$.
$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{33}}{2}$.

2) $x^2 + 3x = -2 \implies x^2 + 3x + 2 = 0$.
По теореме Виета, $x_3 = -1$, $x_4 = -2$.

Все найденные корни входят в ОДЗ.

Ответ: $-2; -1; \frac{-3 - \sqrt{33}}{2}; \frac{-3 + \sqrt{33}}{2}$.

4.

Дано уравнение $3\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + 2\left(x + \frac{1}{x}\right) = 10$. ОДЗ: $x \neq 0$.

Это уравнение является возвратным. Введем замену: пусть $t = x + \frac{1}{x}$.

Выразим $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $t$. Для этого возведем замену в квадрат:
$t^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$.
Отсюда $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Подставим выражения для замены в исходное уравнение:
$3(t^2 - 2) + 2t = 10$.
$3t^2 - 6 + 2t - 10 = 0$.
$3t^2 + 2t - 16 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $t$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-16) = 4 + 192 = 196 = 14^2$.
$t_1 = \frac{-2 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.
$t_2 = \frac{-2 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$.

Выполним обратную замену:

1) $x + \frac{1}{x} = 2$.
Умножим обе части на $x$ (так как $x \neq 0$):
$x^2 + 1 = 2x$.
$x^2 - 2x + 1 = 0$.
$(x-1)^2 = 0$.
$x_1 = 1$.

2) $x + \frac{1}{x} = -\frac{8}{3}$.
Умножим обе части на $3x$ (так как $x \neq 0$):
$3x^2 + 3 = -8x$.
$3x^2 + 8x + 3 = 0$.
$D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 64 - 36 = 28$.
$x_{2,3} = \frac{-8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{7}}{3}$.

Все найденные корни входят в ОДЗ.

Ответ: $1; \frac{-4 - \sqrt{7}}{3}; \frac{-4 + \sqrt{7}}{3}$.