Номер 3, страница 46 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Самостоятельные работы - номер 3, страница 46.

Условие.

Самостоятельная работа № 3

Формулы включения-исключения.

Взаимно однозначное соответствие

1. Докажите, что количество четырёхзначных чисел равно количеству шестизначных чисел, в записи которых вторая и пятая цифры (считая слева направо) соответственно равны 0 и 4.

2. Из 65 учащихся спортивной школы 34 посещают баскетбольную секцию, а 47 — легкоатлетическую секцию. Сколько учащихся посещают и баскетбольную, и легкоатлетическую секции?

Решение.

1.

Чтобы доказать данное утверждение, мы можем установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех четырёхзначных чисел и множеством шестизначных чисел с указанными свойствами. Однако, проще и нагляднее будет напрямую вычислить количество чисел в каждом из этих множеств.

1. Найдем количество всех четырёхзначных чисел.
Четырёхзначное число состоит из четырёх цифр. Первая цифра не может быть нулём, поэтому для неё существует 9 вариантов (от 1 до 9). Каждая из следующих трёх цифр может быть любой от 0 до 9, то есть для каждой из них есть 10 вариантов.
Общее количество четырёхзначных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции:
$N_4 = 9 \times 10 \times 10 \times 10 = 9000$.

2. Найдем количество шестизначных чисел, в которых вторая цифра равна 0, а пятая — 4.
Шестизначное число состоит из шести цифр.
- Для первой цифры существует 9 вариантов (любая от 1 до 9, так как число не может начинаться с нуля).
- Для второй цифры по условию есть только 1 вариант — это 0.
- Для третьей цифры существует 10 вариантов (любая от 0 до 9).
- Для четвёртой цифры существует 10 вариантов (любая от 0 до 9).
- Для пятой цифры по условию есть только 1 вариант — это 4.
- Для шестой цифры существует 10 вариантов (любая от 0 до 9).
Общее количество таких шестизначных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции:
$N_6 = 9 \times 1 \times 10 \times 10 \times 1 \times 10 = 9000$.

Поскольку $N_4 = 9000$ и $N_6 = 9000$, количества этих чисел равны, что и требовалось доказать.

Ответ: Количество чисел в обоих множествах равно 9000.

2.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой включений-исключений.
Пусть $Б$ — это множество учащихся, посещающих баскетбольную секцию, а $Л$ — множество учащихся, посещающих легкоатлетическую секцию.
По условию задачи нам дано:
- Общее число учащихся, посещающих хотя бы одну из секций (так как общее число учащихся в школе 65, а сумма посещающих секции $34+47=81$, что больше 65, значит, нет учащихся, не посещающих ни одной секции): $|Б \cup Л| = 65$.
- Количество учащихся в баскетбольной секции: $|Б| = 34$.
- Количество учащихся в легкоатлетической секции: $|Л| = 47$.

Нам необходимо найти количество учащихся, которые посещают обе секции, то есть мощность пересечения множеств $|Б \cap Л|$.
Формула включений-исключений для двух множеств:
$|Б \cup Л| = |Б| + |Л| - |Б \cap Л|$

Подставим в формулу известные значения:
$65 = 34 + 47 - |Б \cap Л|$
$65 = 81 - |Б \cap Л|$

Теперь выразим искомую величину:
$|Б \cap Л| = 81 - 65$
$|Б \cap Л| = 16$

Таким образом, 16 учащихся посещают обе секции.

Ответ: 16.