Номер 7, страница 48 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Самостоятельные работы - номер 7, страница 48.

Условие.

Самостоятельная работа № 7

Сложение и вычитание рациональных дробей

с одинаковыми знаменателями

1. Представьте в виде дроби выражение:

1) $\frac{8m - 5n}{mn} - \frac{2m - 5n}{mn};$

2) $\frac{2y}{y^2 - 49} - \frac{14}{y^2 - 49};$

3) $\frac{x^2 + 12x}{25 - x^2} - \frac{2x - 25}{25 - x^2}.$

2. Упростите выражение:

1) $\frac{x^3 - 7}{1 - x} - \frac{6}{x - 1};$

2) $\frac{36 - 8x}{(x - 6)^2} - \frac{4x - x^2}{(6 - x)^2}.$

3. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения

$\frac{6x + 3}{(x - 4)^3} + \frac{x - 6}{(4 - x)^3} - \frac{29}{(x - 4)^3}$

принимает положительные значения.

4. Найдите все натуральные значения n, при которых является целым числом значение выражения:

1) $\frac{12n + 11}{3n - 2};$

2) $\frac{2n^2 + 3n - 15}{n + 4}.$

Решение.

1) $\frac{8m - 5n}{mn} - \frac{2m - 5n}{mn}$
Так как знаменатели дробей одинаковы, выполним вычитание числителей:
$\frac{(8m - 5n) - (2m - 5n)}{mn} = \frac{8m - 5n - 2m + 5n}{mn} = \frac{6m}{mn}$
Сократим дробь на общий множитель $m$:
$\frac{6m}{mn} = \frac{6}{n}$
Ответ: $\frac{6}{n}$.

2) $\frac{2y}{y^2 - 49} - \frac{14}{y^2 - 49}$
Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычитаем числители:
$\frac{2y - 14}{y^2 - 49}$
Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки. Знаменатель разложим по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{2(y - 7)}{(y - 7)(y + 7)}$
Сократим дробь на общий множитель $(y - 7)$:
$\frac{2}{y + 7}$
Ответ: $\frac{2}{y + 7}$.

3) $\frac{x^2 + 12x}{25 - x^2} - \frac{2x - 25}{25 - x^2}$
Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{(x^2 + 12x) - (2x - 25)}{25 - x^2} = \frac{x^2 + 12x - 2x + 25}{25 - x^2} = \frac{x^2 + 10x + 25}{25 - x^2}$
Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В знаменателе — формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{(x + 5)^2}{(5 - x)(5 + x)}$
Сократим дробь на общий множитель $(x+5)$, так как $x+5=5+x$:
$\frac{x + 5}{5 - x}$
Ответ: $\frac{x + 5}{5 - x}$.

1) $\frac{x^3 - 7}{1 - x} - \frac{6}{x - 1}$
Знаменатели $1-x$ и $x-1$ являются противоположными выражениями, так как $x - 1 = -(1 - x)$. Приведем вторую дробь к знаменателю $1 - x$:
$\frac{6}{x - 1} = \frac{6}{-(1 - x)} = -\frac{6}{1 - x}$
Подставим в исходное выражение:
$\frac{x^3 - 7}{1 - x} - (-\frac{6}{1 - x}) = \frac{x^3 - 7}{1 - x} + \frac{6}{1 - x} = \frac{x^3 - 7 + 6}{1 - x} = \frac{x^3 - 1}{1 - x}$
Разложим числитель по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, а в знаменателе вынесем минус за скобку:
$\frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{-(x - 1)}$
Сократим дробь на $(x - 1)$:
$\frac{x^2 + x + 1}{-1} = -(x^2 + x + 1)$
Ответ: $-(x^2 + x + 1)$.

2) $\frac{36 - 8x}{(x - 6)^2} - \frac{4x - x^2}{(6 - x)^2}$
Так как $(6 - x)^2 = (-(x - 6))^2 = (x - 6)^2$, знаменатели дробей равны. Выполним вычитание числителей:
$\frac{(36 - 8x) - (4x - x^2)}{(x - 6)^2} = \frac{36 - 8x - 4x + x^2}{(x - 6)^2} = \frac{x^2 - 12x + 36}{(x - 6)^2}$
Числитель является полным квадратом по формуле $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$: $x^2 - 12x + 36 = (x - 6)^2$.
$\frac{(x - 6)^2}{(x - 6)^2} = 1$
Ответ: $1$.

Рассмотрим выражение $\frac{6x + 3}{(x - 4)^3} + \frac{x - 6}{(4 - x)^3} - \frac{29}{(x - 4)^3}$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $(4 - x)^3 = (-(x - 4))^3 = -(x - 4)^3$.
$\frac{x - 6}{(4 - x)^3} = \frac{x - 6}{-(x - 4)^3} = -\frac{x - 6}{(x - 4)^3}$
Подставим это в исходное выражение и выполним действия:
$\frac{6x + 3}{(x - 4)^3} - \frac{x - 6}{(x - 4)^3} - \frac{29}{(x - 4)^3} = \frac{(6x + 3) - (x - 6) - 29}{(x - 4)^3} = \frac{6x + 3 - x + 6 - 29}{(x - 4)^3} = \frac{5x - 20}{(x - 4)^3}$
Вынесем в числителе общий множитель 5 за скобки и сократим дробь:
$\frac{5(x - 4)}{(x - 4)^3} = \frac{5}{(x - 4)^2}$
Область допустимых значений переменной $x$ — все числа, кроме $x = 4$. Числитель дроби, 5, является положительным числом. Знаменатель дроби, $(x - 4)^2$, является квадратом выражения. При любом $x \neq 4$, выражение $x-4$ не равно нулю, а значит, его квадрат $(x - 4)^2$ всегда будет строго положительным числом. Так как частное двух положительных чисел есть число положительное, то значение всего выражения всегда положительно при всех допустимых $x$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

1) $\frac{12n + 11}{3n - 2}$
Для того чтобы значение выражения было целым числом, выделим его целую часть. Для этого преобразуем числитель:
$\frac{12n + 11}{3n - 2} = \frac{12n - 8 + 19}{3n - 2} = \frac{4(3n - 2) + 19}{3n - 2} = \frac{4(3n - 2)}{3n - 2} + \frac{19}{3n - 2} = 4 + \frac{19}{3n - 2}$
Так как 4 — целое число, то выражение будет целым, если дробь $\frac{19}{3n - 2}$ будет целым числом. Это возможно, если ее знаменатель $3n - 2$ является делителем числителя 19.
Делители простого числа 19: $1, -1, 19, -19$.
Рассмотрим все возможные случаи:
1. $3n - 2 = 1 \Rightarrow 3n = 3 \Rightarrow n = 1$. Число 1 является натуральным.
2. $3n - 2 = -1 \Rightarrow 3n = 1 \Rightarrow n = 1/3$. Не является натуральным числом.
3. $3n - 2 = 19 \Rightarrow 3n = 21 \Rightarrow n = 7$. Число 7 является натуральным.
4. $3n - 2 = -19 \Rightarrow 3n = -17 \Rightarrow n = -17/3$. Не является натуральным числом.
Следовательно, условию задачи удовлетворяют два натуральных значения $n$.
Ответ: $1, 7$.

2) $\frac{2n^2 + 3n - 15}{n + 4}$
Выделим целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель "уголком" или путем преобразований:
$\frac{2n^2 + 3n - 15}{n + 4} = \frac{2n(n+4) - 8n + 3n - 15}{n + 4} = \frac{2n(n+4) - 5n - 15}{n + 4} = \frac{2n(n+4) - 5(n+4) + 20 - 15}{n + 4} = \frac{(2n-5)(n+4) + 5}{n + 4} = 2n - 5 + \frac{5}{n + 4}$
Поскольку $n$ — натуральное число, $2n-5$ всегда будет целым. Значит, все выражение будет целым, если дробь $\frac{5}{n + 4}$ будет целым числом.
Это возможно, если знаменатель $n+4$ является делителем числа 5.
Делители числа 5: $1, -1, 5, -5$.
Так как по условию $n$ — натуральное число, то $n \geq 1$, а значит $n+4 \geq 1+4=5$.
Из всех делителей числа 5 этому условию удовлетворяет только 5.
$n + 4 = 5 \Rightarrow n = 1$.
Значение $n=1$ является натуральным.
Ответ: $1$.