Номер 8, страница 49 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Самостоятельные работы - номер 8, страница 49.

Условие.

Самостоятельная работа № 8

Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями

1. Представьте в виде дроби выражение:

1) $ \frac{9}{10mn} - \frac{14}{15mn}; $

2) $ \frac{2x^2 - 4y^2}{xy} + \frac{6x + 4y}{x}; $

3) $ 7 - \frac{5x + 7y}{y}; $

4) $ \frac{x^2 - y^2}{4x + y} + 4x - y. $

2. Выполните действия:

1) $ \frac{7m}{5m - 30} + \frac{2m}{18 - 3m}; $

2) $ \frac{4a}{4a + b} - \frac{16a^2}{16a^2 + 8ab + b^2}; $

3) $ \frac{8}{b^2 - 25} - \frac{4}{b^2 + 5b}. $

3. Упростите выражение

$ \frac{a + 1}{a^2 + a + 1} - \frac{1}{a - 1} + \frac{a^3 + a + 1}{a^3 - 1}. $

4. Докажите тождество:

$ \frac{1}{x(x + 4)} + \frac{1}{(x + 4)(x + 8)} + \frac{1}{(x + 8)(x + 12)} + \frac{1}{(x + 12)(x + 16)} = \frac{4}{x(x + 16)}. $

Решение.

1.

1) Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $10mn$ и $15mn$ - это $30mn$. Домножим первую дробь на 3, а вторую на 2.

$\frac{9}{10mn} - \frac{14}{15mn} = \frac{9 \cdot 3}{30mn} - \frac{14 \cdot 2}{30mn} = \frac{27}{30mn} - \frac{28}{30mn} = \frac{27 - 28}{30mn} = -\frac{1}{30mn}$

Ответ: $-\frac{1}{30mn}$.

2) Общий знаменатель для дробей - это $xy$. Домножим вторую дробь на $y$.

$\frac{2x^2 - 4y^2}{xy} + \frac{6x + 4y}{x} = \frac{2x^2 - 4y^2}{xy} + \frac{(6x + 4y)y}{xy} = \frac{2x^2 - 4y^2 + 6xy + 4y^2}{xy} = \frac{2x^2 + 6xy}{xy}$

Вынесем общий множитель $2x$ в числителе и сократим дробь:

$\frac{2x(x + 3y)}{xy} = \frac{2(x + 3y)}{y}$

Ответ: $\frac{2(x + 3y)}{y}$.

3) Представим число 7 в виде дроби со знаменателем $y$.

$7 - \frac{5x + 7y}{y} = \frac{7y}{y} - \frac{5x + 7y}{y} = \frac{7y - (5x + 7y)}{y} = \frac{7y - 5x - 7y}{y} = \frac{-5x}{y} = -\frac{5x}{y}$

Ответ: $-\frac{5x}{y}$.

4) Представим выражение $4x - y$ в виде дроби со знаменателем $4x + y$.

$\frac{x^2 - y^2}{4x + y} + 4x - y = \frac{x^2 - y^2}{4x + y} + \frac{(4x - y)(4x + y)}{4x + y}$

Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для числителя второй дроби: $(4x - y)(4x + y) = 16x^2 - y^2$.

$\frac{x^2 - y^2 + 16x^2 - y^2}{4x + y} = \frac{17x^2 - 2y^2}{4x + y}$

Ответ: $\frac{17x^2 - 2y^2}{4x + y}$.

2.

1) Разложим знаменатели на множители: $5m - 30 = 5(m - 6)$ и $18 - 3m = 3(6 - m) = -3(m - 6)$.

$\frac{7m}{5m - 30} + \frac{2m}{18 - 3m} = \frac{7m}{5(m - 6)} + \frac{2m}{-3(m - 6)} = \frac{7m}{5(m - 6)} - \frac{2m}{3(m - 6)}$

Общий знаменатель равен $15(m - 6)$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{7m \cdot 3}{15(m - 6)} - \frac{2m \cdot 5}{15(m - 6)} = \frac{21m - 10m}{15(m - 6)} = \frac{11m}{15(m - 6)}$

Ответ: $\frac{11m}{15(m - 6)}$.

2) Разложим второй знаменатель по формуле квадрата суммы: $16a^2 + 8ab + b^2 = (4a + b)^2$.

$\frac{4a}{4a + b} - \frac{16a^2}{16a^2 + 8ab + b^2} = \frac{4a}{4a + b} - \frac{16a^2}{(4a + b)^2}$

Общий знаменатель равен $(4a + b)^2$. Домножим первую дробь на $(4a + b)$:

$\frac{4a(4a + b)}{(4a + b)^2} - \frac{16a^2}{(4a + b)^2} = \frac{16a^2 + 4ab - 16a^2}{(4a + b)^2} = \frac{4ab}{(4a + b)^2}$

Ответ: $\frac{4ab}{(4a + b)^2}$.

3) Разложим знаменатели на множители: $b^2 - 25 = (b - 5)(b + 5)$ и $b^2 + 5b = b(b + 5)$.

$\frac{8}{b^2 - 25} - \frac{4}{b^2 + 5b} = \frac{8}{(b - 5)(b + 5)} - \frac{4}{b(b + 5)}$

Общий знаменатель равен $b(b - 5)(b + 5)$.

$\frac{8b}{b(b - 5)(b + 5)} - \frac{4(b - 5)}{b(b - 5)(b + 5)} = \frac{8b - 4b + 20}{b(b - 5)(b + 5)} = \frac{4b + 20}{b(b - 5)(b + 5)}$

Вынесем общий множитель в числителе и сократим дробь:

$\frac{4(b + 5)}{b(b - 5)(b + 5)} = \frac{4}{b(b - 5)}$

Ответ: $\frac{4}{b(b - 5)}$.

3.

Разложим знаменатель $a^3 - 1$, используя формулу разности кубов: $a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)$. Этот знаменатель является общим для всех дробей.

$\frac{a + 1}{a^2 + a + 1} - \frac{1}{a - 1} + \frac{a^3 + a + 1}{a^3 - 1} = \frac{(a + 1)(a - 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} - \frac{1 \cdot (a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} + \frac{a^3 + a + 1}{(a - 1)(a^2 + a + 1)}$

Объединим числители под общим знаменателем. В первом числителе применим формулу разности квадратов:

$\frac{(a^2 - 1) - (a^2 + a + 1) + (a^3 + a + 1)}{a^3 - 1} = \frac{a^2 - 1 - a^2 - a - 1 + a^3 + a + 1}{a^3 - 1}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{a^3 + (a^2 - a^2) + (-a + a) + (-1 - 1 + 1)}{a^3 - 1} = \frac{a^3 - 1}{a^3 - 1} = 1$

Ответ: $1$.

4.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Каждый член суммы можно представить в виде разности двух дробей по формуле $\frac{1}{n(n+k)} = \frac{1}{k}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+k})$. В нашем случае разность в скобках в знаменателе постоянна и равна $k=4$.

$\frac{1}{x(x + 4)} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+4}\right)$
$\frac{1}{(x + 4)(x + 8)} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+4} - \frac{1}{x+8}\right)$
$\frac{1}{(x + 8)(x + 12)} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+8} - \frac{1}{x+12}\right)$
$\frac{1}{(x + 12)(x + 16)} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+12} - \frac{1}{x+16}\right)$

Сложим все эти выражения, вынеся общий множитель $\frac{1}{4}$ за скобки:

$\frac{1}{4}\left[\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+4}\right) + \left(\frac{1}{x+4} - \frac{1}{x+8}\right) + \left(\frac{1}{x+8} - \frac{1}{x+12}\right) + \left(\frac{1}{x+12} - \frac{1}{x+16}\right)\right]$

Внутри скобок все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются:

$\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+16}\right)$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $x(x+16)$:

$\frac{1}{4}\left(\frac{x+16 - x}{x(x+16)}\right) = \frac{1}{4}\left(\frac{16}{x(x+16)}\right) = \frac{4}{x(x+16)}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.