Номер 10, страница 50 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 10, страница 50.

Условие.

Самостоятельная работа № 10

Тождественные преобразования рациональных выражений

1. Упростите выражение:

1) $ \left( \frac{a+9}{a-9} - \frac{a-9}{a+9} \right) : \frac{18a^2}{81-a^2} $;

2) $ \frac{2a}{a-5} - \frac{a+7}{4a-20} \cdot \frac{200}{a^2+7a} $;

3) $ \frac{a - \frac{4a-4}{a}}{\frac{2}{a} - 1} $.

2. Докажите тождество:

$ \left( \frac{1}{(x-7)^2} + \frac{2}{x^2-49} + \frac{1}{(x+7)^2} \right) : \frac{16x^4}{(x^2-49)^2} = \frac{1}{4x^2} $.

3. Докажите, что при всех допустимых значениях а значение выражения

$ \left( \frac{1}{a+2} - \frac{12}{a^3+8} + \frac{6}{a^2-2a+4} \right) \cdot \left( a - \frac{4a-4}{a+2} \right) $

не зависит от значения а.

Решение.

1) Выполним действия по порядку. Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(a-9)(a+9)$.

$\left(\frac{a+9}{a-9} - \frac{a-9}{a+9}\right) : \frac{18a^2}{81-a^2} = \frac{(a+9)^2 - (a-9)^2}{(a-9)(a+9)} : \frac{18a^2}{81-a^2}$

Раскроем числитель первой дроби по формуле разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ или приведением подобных слагаемых:

$(a+9)^2 - (a-9)^2 = (a^2 + 18a + 81) - (a^2 - 18a + 81) = a^2 + 18a + 81 - a^2 + 18a - 81 = 36a$.

Знаменатель первой дроби равен $a^2-81$. Выражение в скобках становится $\frac{36a}{a^2-81}$.

Теперь выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную дробь. Также заметим, что $81-a^2 = -(a^2-81)$.

$\frac{36a}{a^2-81} : \frac{18a^2}{81-a^2} = \frac{36a}{a^2-81} \cdot \frac{81-a^2}{18a^2} = \frac{36a}{a^2-81} \cdot \frac{-(a^2-81)}{18a^2}$

Сокращаем $(a^2-81)$:

$\frac{36a}{1} \cdot \frac{-1}{18a^2} = -\frac{36a}{18a^2} = -\frac{2}{a}$.

Область допустимых значений: $a \neq \pm 9$, $a \neq 0$.

Ответ: $-\frac{2}{a}$.

2) Сначала выполним умножение дробей, предварительно разложив знаменатели на множители.

$4a-20 = 4(a-5)$; $a^2+7a = a(a+7)$.

$\frac{a+7}{4a-20} \cdot \frac{200}{a^2+7a} = \frac{a+7}{4(a-5)} \cdot \frac{200}{a(a+7)}$

Сокращаем общие множители $(a+7)$ и числовые коэффициенты:

$\frac{1}{4(a-5)} \cdot \frac{200}{a} = \frac{50}{a(a-5)}$.

Теперь выполним вычитание:

$\frac{2a}{a-5} - \frac{50}{a(a-5)} = \frac{2a \cdot a}{a(a-5)} - \frac{50}{a(a-5)} = \frac{2a^2 - 50}{a(a-5)}$

Разложим числитель на множители: $2a^2 - 50 = 2(a^2 - 25) = 2(a-5)(a+5)$.

$\frac{2(a-5)(a+5)}{a(a-5)} = \frac{2(a+5)}{a}$.

Область допустимых значений: $a \neq 5$, $a \neq 0$, $a \neq -7$.

Ответ: $\frac{2(a+5)}{a}$.

3) Упростим числитель и знаменатель сложной дроби по отдельности.

Числитель: $a - \frac{4a-4}{a} = \frac{a \cdot a}{a} - \frac{4a-4}{a} = \frac{a^2 - (4a-4)}{a} = \frac{a^2 - 4a + 4}{a} = \frac{(a-2)^2}{a}$.

Знаменатель: $\frac{2}{a} - 1 = \frac{2}{a} - \frac{a}{a} = \frac{2-a}{a}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{(a-2)^2}{a}}{\frac{2-a}{a}} = \frac{(a-2)^2}{a} \cdot \frac{a}{2-a} = \frac{(a-2)^2}{2-a}$

Так как $2-a = -(a-2)$, получаем:

$\frac{(a-2)^2}{-(a-2)} = -(a-2) = 2-a$.

Область допустимых значений: $a \neq 0$, $a \neq 2$.

Ответ: $2-a$.

2. Преобразуем левую часть тождества. Вероятно, в условии задачи имеется опечатка, и второй множитель должен быть $\frac{(x^2-49)^2}{16x^4}$ (обратная дробь). В противном случае тождество неверно. Докажем его с исправленным условием.

Левая часть (ЛЧ): $(\frac{1}{(x-7)^2} + \frac{2}{x^2-49} + \frac{1}{(x+7)^2}) \cdot \frac{(x^2-49)^2}{16x^4}$.

Выражение в скобках представляет собой полный квадрат суммы. Заметим, что $x^2-49 = (x-7)(x+7)$.

$\frac{1}{(x-7)^2} + \frac{2}{(x-7)(x+7)} + \frac{1}{(x+7)^2} = \left(\frac{1}{x-7} + \frac{1}{x+7}\right)^2$.

Упростим выражение в основании степени:

$\frac{1}{x-7} + \frac{1}{x+7} = \frac{x+7+x-7}{(x-7)(x+7)} = \frac{2x}{x^2-49}$.

Тогда выражение в больших скобках равно:

$\left(\frac{2x}{x^2-49}\right)^2 = \frac{4x^2}{(x^2-49)^2}$.

Теперь умножим результат на второй множитель (из исправленного условия):

ЛЧ = $\frac{4x^2}{(x^2-49)^2} \cdot \frac{(x^2-49)^2}{16x^4}$.

Сокращаем $(x^2-49)^2$:

ЛЧ = $\frac{4x^2}{16x^4} = \frac{1}{4x^2}$.

Получили, что левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано (при условии исправления опечатки в задании).

3. Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от $a$, нужно его упростить. Если в результате получится константа (число), то утверждение будет доказано.

Выражение: $\left(\frac{1}{a+2} - \frac{12}{a^3+8} + \frac{6}{a^2-2a+4}\right) \cdot \left(a - \frac{4a-4}{a+2}\right)$.

Упростим первую скобку. Используем формулу суммы кубов: $a^3+8 = a^3+2^3 = (a+2)(a^2-2a+4)$. Общий знаменатель $a^3+8$.

$\frac{1(a^2-2a+4)}{a^3+8} - \frac{12}{a^3+8} + \frac{6(a+2)}{a^3+8} = \frac{a^2-2a+4 - 12 + 6a+12}{a^3+8}$

Приводим подобные в числителе:

$\frac{a^2 + 4a + 4}{a^3+8} = \frac{(a+2)^2}{(a+2)(a^2-2a+4)} = \frac{a+2}{a^2-2a+4}$.

Упростим вторую скобку:

$a - \frac{4a-4}{a+2} = \frac{a(a+2)}{a+2} - \frac{4a-4}{a+2} = \frac{a^2+2a-(4a-4)}{a+2} = \frac{a^2-2a+4}{a+2}$.

Теперь перемножим результаты:

$\frac{a+2}{a^2-2a+4} \cdot \frac{a^2-2a+4}{a+2} = 1$.

Поскольку выражение равно 1 при всех допустимых значениях $a$ (где $a \neq -2$), его значение не зависит от $a$.

Ответ: значение выражения равно 1, следовательно, оно не зависит от $a$.