Номер 10, страница 50 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Самостоятельные и контрольные работы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2015 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: красный
ISBN: 978-5-360-08298-9
Популярные ГДЗ в 8 классе
Вариант 3. Самостоятельные работы - номер 10, страница 50.
№10 (с. 50)
Условие. №10 (с. 50)
скриншот условия


Самостоятельная работа № 10
Тождественные преобразования рациональных выражений
1. Упростите выражение:
1) $ \left( \frac{a+9}{a-9} - \frac{a-9}{a+9} \right) : \frac{18a^2}{81-a^2} $;
2) $ \frac{2a}{a-5} - \frac{a+7}{4a-20} \cdot \frac{200}{a^2+7a} $;
3) $ \frac{a - \frac{4a-4}{a}}{\frac{2}{a} - 1} $.
2. Докажите тождество:
$ \left( \frac{1}{(x-7)^2} + \frac{2}{x^2-49} + \frac{1}{(x+7)^2} \right) : \frac{16x^4}{(x^2-49)^2} = \frac{1}{4x^2} $.
3. Докажите, что при всех допустимых значениях а значение выражения
$ \left( \frac{1}{a+2} - \frac{12}{a^3+8} + \frac{6}{a^2-2a+4} \right) \cdot \left( a - \frac{4a-4}{a+2} \right) $
не зависит от значения а.
Решение. №10 (с. 50)
1) Выполним действия по порядку. Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(a-9)(a+9)$.
$\left(\frac{a+9}{a-9} - \frac{a-9}{a+9}\right) : \frac{18a^2}{81-a^2} = \frac{(a+9)^2 - (a-9)^2}{(a-9)(a+9)} : \frac{18a^2}{81-a^2}$
Раскроем числитель первой дроби по формуле разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ или приведением подобных слагаемых:
$(a+9)^2 - (a-9)^2 = (a^2 + 18a + 81) - (a^2 - 18a + 81) = a^2 + 18a + 81 - a^2 + 18a - 81 = 36a$.
Знаменатель первой дроби равен $a^2-81$. Выражение в скобках становится $\frac{36a}{a^2-81}$.
Теперь выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную дробь. Также заметим, что $81-a^2 = -(a^2-81)$.
$\frac{36a}{a^2-81} : \frac{18a^2}{81-a^2} = \frac{36a}{a^2-81} \cdot \frac{81-a^2}{18a^2} = \frac{36a}{a^2-81} \cdot \frac{-(a^2-81)}{18a^2}$
Сокращаем $(a^2-81)$:
$\frac{36a}{1} \cdot \frac{-1}{18a^2} = -\frac{36a}{18a^2} = -\frac{2}{a}$.
Область допустимых значений: $a \neq \pm 9$, $a \neq 0$.
Ответ: $-\frac{2}{a}$.
2) Сначала выполним умножение дробей, предварительно разложив знаменатели на множители.
$4a-20 = 4(a-5)$; $a^2+7a = a(a+7)$.
$\frac{a+7}{4a-20} \cdot \frac{200}{a^2+7a} = \frac{a+7}{4(a-5)} \cdot \frac{200}{a(a+7)}$
Сокращаем общие множители $(a+7)$ и числовые коэффициенты:
$\frac{1}{4(a-5)} \cdot \frac{200}{a} = \frac{50}{a(a-5)}$.
Теперь выполним вычитание:
$\frac{2a}{a-5} - \frac{50}{a(a-5)} = \frac{2a \cdot a}{a(a-5)} - \frac{50}{a(a-5)} = \frac{2a^2 - 50}{a(a-5)}$
Разложим числитель на множители: $2a^2 - 50 = 2(a^2 - 25) = 2(a-5)(a+5)$.
$\frac{2(a-5)(a+5)}{a(a-5)} = \frac{2(a+5)}{a}$.
Область допустимых значений: $a \neq 5$, $a \neq 0$, $a \neq -7$.
Ответ: $\frac{2(a+5)}{a}$.
3) Упростим числитель и знаменатель сложной дроби по отдельности.
Числитель: $a - \frac{4a-4}{a} = \frac{a \cdot a}{a} - \frac{4a-4}{a} = \frac{a^2 - (4a-4)}{a} = \frac{a^2 - 4a + 4}{a} = \frac{(a-2)^2}{a}$.
Знаменатель: $\frac{2}{a} - 1 = \frac{2}{a} - \frac{a}{a} = \frac{2-a}{a}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{\frac{(a-2)^2}{a}}{\frac{2-a}{a}} = \frac{(a-2)^2}{a} \cdot \frac{a}{2-a} = \frac{(a-2)^2}{2-a}$
Так как $2-a = -(a-2)$, получаем:
$\frac{(a-2)^2}{-(a-2)} = -(a-2) = 2-a$.
Область допустимых значений: $a \neq 0$, $a \neq 2$.
Ответ: $2-a$.
2. Преобразуем левую часть тождества. Вероятно, в условии задачи имеется опечатка, и второй множитель должен быть $\frac{(x^2-49)^2}{16x^4}$ (обратная дробь). В противном случае тождество неверно. Докажем его с исправленным условием.
Левая часть (ЛЧ): $(\frac{1}{(x-7)^2} + \frac{2}{x^2-49} + \frac{1}{(x+7)^2}) \cdot \frac{(x^2-49)^2}{16x^4}$.
Выражение в скобках представляет собой полный квадрат суммы. Заметим, что $x^2-49 = (x-7)(x+7)$.
$\frac{1}{(x-7)^2} + \frac{2}{(x-7)(x+7)} + \frac{1}{(x+7)^2} = \left(\frac{1}{x-7} + \frac{1}{x+7}\right)^2$.
Упростим выражение в основании степени:
$\frac{1}{x-7} + \frac{1}{x+7} = \frac{x+7+x-7}{(x-7)(x+7)} = \frac{2x}{x^2-49}$.
Тогда выражение в больших скобках равно:
$\left(\frac{2x}{x^2-49}\right)^2 = \frac{4x^2}{(x^2-49)^2}$.
Теперь умножим результат на второй множитель (из исправленного условия):
ЛЧ = $\frac{4x^2}{(x^2-49)^2} \cdot \frac{(x^2-49)^2}{16x^4}$.
Сокращаем $(x^2-49)^2$:
ЛЧ = $\frac{4x^2}{16x^4} = \frac{1}{4x^2}$.
Получили, что левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано (при условии исправления опечатки в задании).
3. Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от $a$, нужно его упростить. Если в результате получится константа (число), то утверждение будет доказано.
Выражение: $\left(\frac{1}{a+2} - \frac{12}{a^3+8} + \frac{6}{a^2-2a+4}\right) \cdot \left(a - \frac{4a-4}{a+2}\right)$.
Упростим первую скобку. Используем формулу суммы кубов: $a^3+8 = a^3+2^3 = (a+2)(a^2-2a+4)$. Общий знаменатель $a^3+8$.
$\frac{1(a^2-2a+4)}{a^3+8} - \frac{12}{a^3+8} + \frac{6(a+2)}{a^3+8} = \frac{a^2-2a+4 - 12 + 6a+12}{a^3+8}$
Приводим подобные в числителе:
$\frac{a^2 + 4a + 4}{a^3+8} = \frac{(a+2)^2}{(a+2)(a^2-2a+4)} = \frac{a+2}{a^2-2a+4}$.
Упростим вторую скобку:
$a - \frac{4a-4}{a+2} = \frac{a(a+2)}{a+2} - \frac{4a-4}{a+2} = \frac{a^2+2a-(4a-4)}{a+2} = \frac{a^2-2a+4}{a+2}$.
Теперь перемножим результаты:
$\frac{a+2}{a^2-2a+4} \cdot \frac{a^2-2a+4}{a+2} = 1$.
Поскольку выражение равно 1 при всех допустимых значениях $a$ (где $a \neq -2$), его значение не зависит от $a$.
Ответ: значение выражения равно 1, следовательно, оно не зависит от $a$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 10 расположенного на странице 50 к самостоятельным и контрольным работам серии алгоритм успеха 2015 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №10 (с. 50), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.