Номер 17, страница 54 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 17, страница 54.

Условие.

Самостоятельная работа № 17

Деление с остатком. Сравнения по модулю

и их свойства

1. Найдите неполное частное и остаток при делении числа $m$ на число $n$:

1) $m = 7$, $n = 54$;

2) $m = -83$, $n = 24$.

2. Число $b$ при делении на 4 даёт в остатке 3, а при делении на 5 даёт в остатке 2. Найдите остаток при делении числа $b$ на 20.

3. Известно, что $p = -4 \pmod{9}$, $q = -2 \pmod{9}$. Найдите остаток при делении на 9 числа:

1) $5p - 2q$;

2) $pq$;

3) $p^2$.

4. Решите в целых числах уравнение $x^2 - 6y = 8$.

5. Докажите, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения $17^n + 14 \cdot 11^n - 3 \cdot 5^{n+1}$ кратно 6.

6. Найдите остаток при делении числа $4^{73}$ на число 9.

Решение.

1. Найдите неполное частное и остаток при делении числа m на число n:

1) m = 7, n = 54

Согласно определению деления с остатком, для целых чисел m (делимое) и n (делитель), где $n \neq 0$, существуют единственные целые числа q (неполное частное) и r (остаток) такие, что $m = n \cdot q + r$, причём $0 \le r < |n|$.

В данном случае $m = 7$ и $n = 54$. Нам нужно найти q и r, чтобы выполнялось равенство $7 = 54 \cdot q + r$ и условие $0 \le r < 54$.

Поскольку делимое $m = 7$ меньше делителя $n = 54$, неполное частное $q$ будет равно 0.

Подставим $q=0$ в равенство: $7 = 54 \cdot 0 + r$ $7 = 0 + r$ $r = 7$

Проверим условие для остатка: $0 \le 7 < 54$. Условие выполняется.

Таким образом, неполное частное равно 0, а остаток равен 7.

Ответ: неполное частное 0, остаток 7.

2) m = -83, n = 24

Нам нужно найти целые числа q и r, для которых выполняется равенство $-83 = 24 \cdot q + r$ и условие $0 \le r < 24$.

Подберём такое целое число q, чтобы произведение $24 \cdot q$ было меньше или равно $-83$. $24 \cdot (-3) = -72$ $24 \cdot (-4) = -96$

Значение $-96$ является наибольшим произведением $24 \cdot q$, которое не превосходит $-83$. Следовательно, неполное частное $q = -4$.

Теперь найдём остаток r: $-83 = 24 \cdot (-4) + r$ $-83 = -96 + r$ $r = -83 + 96$ $r = 13$

Проверим условие для остатка: $0 \le 13 < 24$. Условие выполняется.

Таким образом, неполное частное равно -4, а остаток равен 13.

Ответ: неполное частное -4, остаток 13.

2.

По условию задачи, число b при делении на 4 даёт в остатке 3, а при делении на 5 даёт в остатке 2. Это можно записать в виде системы сравнений: $b \equiv 3 \pmod{4}$ $b \equiv 2 \pmod{5}$

Из первого сравнения следует, что число b можно представить в виде $b = 4k + 3$ для некоторого целого числа k.

Подставим это выражение для b во второе сравнение: $4k + 3 \equiv 2 \pmod{5}$

Решим это сравнение относительно k: $4k \equiv 2 - 3 \pmod{5}$ $4k \equiv -1 \pmod{5}$ Так как $-1 \equiv 4 \pmod{5}$, получаем: $4k \equiv 4 \pmod{5}$

Поскольку НОД(4, 5) = 1, мы можем разделить обе части сравнения на 4: $k \equiv 1 \pmod{5}$

Это означает, что k можно представить в виде $k = 5j + 1$ для некоторого целого числа j.

Теперь подставим это выражение для k обратно в формулу для b: $b = 4k + 3 = 4(5j + 1) + 3$ $b = 20j + 4 + 3$ $b = 20j + 7$

Полученное выражение показывает, что при делении числа b на 20 неполное частное равно j, а остаток равен 7.

Ответ: 7.

3.

Даны сравнения: $p \equiv -4 \pmod{9}$ и $q \equiv -2 \pmod{9}$.

Для удобства вычислений приведём остатки к стандартному виду (неотрицательные числа, меньшие модуля): $p \equiv -4 + 9 \equiv 5 \pmod{9}$ $q \equiv -2 + 9 \equiv 7 \pmod{9}$

Теперь найдём остатки для заданных выражений, используя свойства сравнений.

1) $5p - 2q$
$5p - 2q \equiv 5 \cdot 5 - 2 \cdot 7 \pmod{9}$
$5p - 2q \equiv 25 - 14 \pmod{9}$
$5p - 2q \equiv 11 \pmod{9}$
$11 \equiv 2 \pmod{9}$
Остаток при делении $5p - 2q$ на 9 равен 2.
Ответ: 2.

2) $pq$
$pq \equiv 5 \cdot 7 \pmod{9}$
$pq \equiv 35 \pmod{9}$
$35 = 3 \cdot 9 + 8$, поэтому $35 \equiv 8 \pmod{9}$.
Остаток при делении $pq$ на 9 равен 8.
Ответ: 8.

3) $p^2$
$p^2 \equiv 5^2 \pmod{9}$
$p^2 \equiv 25 \pmod{9}$
$25 = 2 \cdot 9 + 7$, поэтому $25 \equiv 7 \pmod{9}$.
Остаток при делении $p^2$ на 9 равен 7.
Ответ: 7.

4.

Дано уравнение в целых числах: $x^2 - 6y = 8$.

Перепишем уравнение в виде: $x^2 = 6y + 8$

Рассмотрим это уравнение по модулю 3. Так как $6y$ делится на 3, то $6y \equiv 0 \pmod{3}$. Число 8 при делении на 3 дает остаток 2, то есть $8 \equiv 2 \pmod{3}$.

Тогда уравнение по модулю 3 примет вид: $x^2 \equiv 0 + 2 \pmod{3}$ $x^2 \equiv 2 \pmod{3}$

Проверим, какие остатки могут давать квадраты целых чисел при делении на 3:

• Если $x \equiv 0 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{3}$.
• Если $x \equiv 1 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$.
• Если $x \equiv 2 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 2^2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$.

Таким образом, квадрат любого целого числа при делении на 3 может давать в остатке только 0 или 1. Остаток 2 невозможен.

Поскольку сравнение $x^2 \equiv 2 \pmod{3}$ не имеет решений в целых числах, то и исходное уравнение $x^2 - 6y = 8$ не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений в целых числах нет.

5.

Нужно доказать, что выражение $A_n = 17^n + 14 \cdot 11^n - 3 \cdot 5^{n+1}$ кратно 6 для любого натурального n.

Для того чтобы число было кратно 6, оно должно быть кратно 2 и 3. Докажем это с помощью сравнений по модулю.

1. Делимость на 2 (проверка по модулю 2):
$17 \equiv 1 \pmod{2}$, $14 \equiv 0 \pmod{2}$, $11 \equiv 1 \pmod{2}$, $3 \equiv 1 \pmod{2}$, $5 \equiv 1 \pmod{2}$.
$A_n \equiv 1^n + 0 \cdot 1^n - 1 \cdot 1^{n+1} \pmod{2}$
$A_n \equiv 1 + 0 - 1 \equiv 0 \pmod{2}$
Следовательно, выражение всегда делится на 2.

2. Делимость на 3 (проверка по модулю 3):
$17 \equiv 2 \equiv -1 \pmod{3}$, $14 \equiv 2 \equiv -1 \pmod{3}$, $11 \equiv 2 \equiv -1 \pmod{3}$, $3 \equiv 0 \pmod{3}$.
$A_n \equiv (-1)^n + (-1) \cdot (-1)^n - 0 \cdot 5^{n+1} \pmod{3}$
$A_n \equiv (-1)^n - (-1)^n - 0 \equiv 0 \pmod{3}$
Следовательно, выражение всегда делится на 3.

Поскольку выражение делится и на 2, и на 3, а числа 2 и 3 взаимно просты, то оно делится на их произведение $2 \cdot 3 = 6$. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

6.

Требуется найти остаток от деления числа $4^{73}$ на 9. Это эквивалентно нахождению значения $4^{73} \pmod{9}$.

Найдём последовательные степени числа 4 по модулю 9, чтобы обнаружить цикл:
$4^1 \equiv 4 \pmod{9}$
$4^2 \equiv 16 \equiv 7 \pmod{9}$
$4^3 = 4^2 \cdot 4 \equiv 7 \cdot 4 = 28 \equiv 1 \pmod{9}$
$4^4 = 4^3 \cdot 4 \equiv 1 \cdot 4 \equiv 4 \pmod{9}$

Остатки повторяются с периодом 3. Последовательность остатков: 4, 7, 1, 4, 7, 1, ...

Чтобы найти остаток для $4^{73}$, нужно определить, на каком месте в цикле находится этот член. Для этого найдём остаток от деления показателя степени 73 на длину периода 3.
$73 = 3 \cdot 24 + 1$
Остаток равен 1. Это означает, что $4^{73}$ будет давать такой же остаток, как и первый член последовательности, то есть $4^1$.

Формально:
$4^{73} = 4^{3 \cdot 24 + 1} = (4^3)^{24} \cdot 4^1$
$4^{73} \equiv (1)^{24} \cdot 4^1 \pmod{9}$
$4^{73} \equiv 1 \cdot 4 \pmod{9}$
$4^{73} \equiv 4 \pmod{9}$

Таким образом, остаток при делении $4^{73}$ на 9 равен 4.

Ответ: 4.