Номер 17, страница 54 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Самостоятельные и контрольные работы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2015 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: красный
ISBN: 978-5-360-08298-9
Популярные ГДЗ в 8 классе
Вариант 3. Самостоятельные работы - номер 17, страница 54.
№17 (с. 54)
Условие. №17 (с. 54)
скриншот условия


Самостоятельная работа № 17
Деление с остатком. Сравнения по модулю
и их свойства
1. Найдите неполное частное и остаток при делении числа $m$ на число $n$:
1) $m = 7$, $n = 54$;
2) $m = -83$, $n = 24$.
2. Число $b$ при делении на 4 даёт в остатке 3, а при делении на 5 даёт в остатке 2. Найдите остаток при делении числа $b$ на 20.
3. Известно, что $p = -4 \pmod{9}$, $q = -2 \pmod{9}$. Найдите остаток при делении на 9 числа:
1) $5p - 2q$;
2) $pq$;
3) $p^2$.
4. Решите в целых числах уравнение $x^2 - 6y = 8$.
5. Докажите, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения $17^n + 14 \cdot 11^n - 3 \cdot 5^{n+1}$ кратно 6.
6. Найдите остаток при делении числа $4^{73}$ на число 9.
Решение. №17 (с. 54)
1. Найдите неполное частное и остаток при делении числа m на число n:
1) m = 7, n = 54
Согласно определению деления с остатком, для целых чисел m (делимое) и n (делитель), где $n \neq 0$, существуют единственные целые числа q (неполное частное) и r (остаток) такие, что $m = n \cdot q + r$, причём $0 \le r < |n|$.
В данном случае $m = 7$ и $n = 54$. Нам нужно найти q и r, чтобы выполнялось равенство $7 = 54 \cdot q + r$ и условие $0 \le r < 54$.
Поскольку делимое $m = 7$ меньше делителя $n = 54$, неполное частное $q$ будет равно 0.
Подставим $q=0$ в равенство: $7 = 54 \cdot 0 + r$ $7 = 0 + r$ $r = 7$
Проверим условие для остатка: $0 \le 7 < 54$. Условие выполняется.
Таким образом, неполное частное равно 0, а остаток равен 7.
Ответ: неполное частное 0, остаток 7.
2) m = -83, n = 24
Нам нужно найти целые числа q и r, для которых выполняется равенство $-83 = 24 \cdot q + r$ и условие $0 \le r < 24$.
Подберём такое целое число q, чтобы произведение $24 \cdot q$ было меньше или равно $-83$. $24 \cdot (-3) = -72$ $24 \cdot (-4) = -96$
Значение $-96$ является наибольшим произведением $24 \cdot q$, которое не превосходит $-83$. Следовательно, неполное частное $q = -4$.
Теперь найдём остаток r: $-83 = 24 \cdot (-4) + r$ $-83 = -96 + r$ $r = -83 + 96$ $r = 13$
Проверим условие для остатка: $0 \le 13 < 24$. Условие выполняется.
Таким образом, неполное частное равно -4, а остаток равен 13.
Ответ: неполное частное -4, остаток 13.
2.
По условию задачи, число b при делении на 4 даёт в остатке 3, а при делении на 5 даёт в остатке 2. Это можно записать в виде системы сравнений: $b \equiv 3 \pmod{4}$ $b \equiv 2 \pmod{5}$
Из первого сравнения следует, что число b можно представить в виде $b = 4k + 3$ для некоторого целого числа k.
Подставим это выражение для b во второе сравнение: $4k + 3 \equiv 2 \pmod{5}$
Решим это сравнение относительно k: $4k \equiv 2 - 3 \pmod{5}$ $4k \equiv -1 \pmod{5}$ Так как $-1 \equiv 4 \pmod{5}$, получаем: $4k \equiv 4 \pmod{5}$
Поскольку НОД(4, 5) = 1, мы можем разделить обе части сравнения на 4: $k \equiv 1 \pmod{5}$
Это означает, что k можно представить в виде $k = 5j + 1$ для некоторого целого числа j.
Теперь подставим это выражение для k обратно в формулу для b: $b = 4k + 3 = 4(5j + 1) + 3$ $b = 20j + 4 + 3$ $b = 20j + 7$
Полученное выражение показывает, что при делении числа b на 20 неполное частное равно j, а остаток равен 7.
Ответ: 7.
3.
Даны сравнения: $p \equiv -4 \pmod{9}$ и $q \equiv -2 \pmod{9}$.
Для удобства вычислений приведём остатки к стандартному виду (неотрицательные числа, меньшие модуля): $p \equiv -4 + 9 \equiv 5 \pmod{9}$ $q \equiv -2 + 9 \equiv 7 \pmod{9}$
Теперь найдём остатки для заданных выражений, используя свойства сравнений.
1) $5p - 2q$
$5p - 2q \equiv 5 \cdot 5 - 2 \cdot 7 \pmod{9}$
$5p - 2q \equiv 25 - 14 \pmod{9}$
$5p - 2q \equiv 11 \pmod{9}$
$11 \equiv 2 \pmod{9}$
Остаток при делении $5p - 2q$ на 9 равен 2.
Ответ: 2.
2) $pq$
$pq \equiv 5 \cdot 7 \pmod{9}$
$pq \equiv 35 \pmod{9}$
$35 = 3 \cdot 9 + 8$, поэтому $35 \equiv 8 \pmod{9}$.
Остаток при делении $pq$ на 9 равен 8.
Ответ: 8.
3) $p^2$
$p^2 \equiv 5^2 \pmod{9}$
$p^2 \equiv 25 \pmod{9}$
$25 = 2 \cdot 9 + 7$, поэтому $25 \equiv 7 \pmod{9}$.
Остаток при делении $p^2$ на 9 равен 7.
Ответ: 7.
4.
Дано уравнение в целых числах: $x^2 - 6y = 8$.
Перепишем уравнение в виде: $x^2 = 6y + 8$
Рассмотрим это уравнение по модулю 3. Так как $6y$ делится на 3, то $6y \equiv 0 \pmod{3}$. Число 8 при делении на 3 дает остаток 2, то есть $8 \equiv 2 \pmod{3}$.
Тогда уравнение по модулю 3 примет вид: $x^2 \equiv 0 + 2 \pmod{3}$ $x^2 \equiv 2 \pmod{3}$
Проверим, какие остатки могут давать квадраты целых чисел при делении на 3:
- Если $x \equiv 0 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{3}$.
- Если $x \equiv 1 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$.
- Если $x \equiv 2 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 2^2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$.
Таким образом, квадрат любого целого числа при делении на 3 может давать в остатке только 0 или 1. Остаток 2 невозможен.
Поскольку сравнение $x^2 \equiv 2 \pmod{3}$ не имеет решений в целых числах, то и исходное уравнение $x^2 - 6y = 8$ не имеет решений в целых числах.
Ответ: решений в целых числах нет.
5.
Нужно доказать, что выражение $A_n = 17^n + 14 \cdot 11^n - 3 \cdot 5^{n+1}$ кратно 6 для любого натурального n.
Для того чтобы число было кратно 6, оно должно быть кратно 2 и 3. Докажем это с помощью сравнений по модулю.
1. Делимость на 2 (проверка по модулю 2):
$17 \equiv 1 \pmod{2}$, $14 \equiv 0 \pmod{2}$, $11 \equiv 1 \pmod{2}$, $3 \equiv 1 \pmod{2}$, $5 \equiv 1 \pmod{2}$.
$A_n \equiv 1^n + 0 \cdot 1^n - 1 \cdot 1^{n+1} \pmod{2}$
$A_n \equiv 1 + 0 - 1 \equiv 0 \pmod{2}$
Следовательно, выражение всегда делится на 2.
2. Делимость на 3 (проверка по модулю 3):
$17 \equiv 2 \equiv -1 \pmod{3}$, $14 \equiv 2 \equiv -1 \pmod{3}$, $11 \equiv 2 \equiv -1 \pmod{3}$, $3 \equiv 0 \pmod{3}$.
$A_n \equiv (-1)^n + (-1) \cdot (-1)^n - 0 \cdot 5^{n+1} \pmod{3}$
$A_n \equiv (-1)^n - (-1)^n - 0 \equiv 0 \pmod{3}$
Следовательно, выражение всегда делится на 3.
Поскольку выражение делится и на 2, и на 3, а числа 2 и 3 взаимно просты, то оно делится на их произведение $2 \cdot 3 = 6$. Что и требовалось доказать.
Ответ: доказано.
6.
Требуется найти остаток от деления числа $4^{73}$ на 9. Это эквивалентно нахождению значения $4^{73} \pmod{9}$.
Найдём последовательные степени числа 4 по модулю 9, чтобы обнаружить цикл:
$4^1 \equiv 4 \pmod{9}$
$4^2 \equiv 16 \equiv 7 \pmod{9}$
$4^3 = 4^2 \cdot 4 \equiv 7 \cdot 4 = 28 \equiv 1 \pmod{9}$
$4^4 = 4^3 \cdot 4 \equiv 1 \cdot 4 \equiv 4 \pmod{9}$
Остатки повторяются с периодом 3. Последовательность остатков: 4, 7, 1, 4, 7, 1, ...
Чтобы найти остаток для $4^{73}$, нужно определить, на каком месте в цикле находится этот член. Для этого найдём остаток от деления показателя степени 73 на длину периода 3.
$73 = 3 \cdot 24 + 1$
Остаток равен 1. Это означает, что $4^{73}$ будет давать такой же остаток, как и первый член последовательности, то есть $4^1$.
Формально:
$4^{73} = 4^{3 \cdot 24 + 1} = (4^3)^{24} \cdot 4^1$
$4^{73} \equiv (1)^{24} \cdot 4^1 \pmod{9}$
$4^{73} \equiv 1 \cdot 4 \pmod{9}$
$4^{73} \equiv 4 \pmod{9}$
Таким образом, остаток при делении $4^{73}$ на 9 равен 4.
Ответ: 4.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 17 расположенного на странице 54 к самостоятельным и контрольным работам серии алгоритм успеха 2015 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №17 (с. 54), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.