Номер 19, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 19, страница 55.

Условие.

Самостоятельная работа № 19

Признаки делимости

1. Делится ли нацело число 42 825 на число: 1) 3; 2) 9; 3) 25?

2. Вместо звёздочек подставьте такие цифры, чтобы число *53* делилось нацело на 88.

3. Может ли натуральное число, запись которого состоит из цифр 1, 2, 3, 6 (каждая из цифр используется один раз), быть квадратом натурального числа?

4. Решите уравнение $n = S(n) + 184$.

Решение.

1.

1) Проверим делимость числа 42 825 на 3. Согласно признаку делимости на 3, число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Найдем сумму цифр числа 42 825: $4 + 2 + 8 + 2 + 5 = 21$.

Так как 21 делится на 3 ($21 : 3 = 7$), то и число 42 825 делится на 3.

Ответ: да, делится.

2) Проверим делимость числа 42 825 на 9. Согласно признаку делимости на 9, число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Сумма цифр числа 42 825 равна 21.

Так как 21 не делится на 9 ($21 = 9 \times 2 + 3$), то и число 42 825 не делится на 9.

Ответ: нет, не делится.

3) Проверим делимость числа 42 825 на 25. Согласно признаку делимости на 25, число делится на 25 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 25.

Последние две цифры числа 42 825 образуют число 25.

Так как 25 делится на 25 ($25 : 25 = 1$), то и число 42 825 делится на 25.

Ответ: да, делится.

2.

Пусть искомое число имеет вид $*53*$. Обозначим его как $A53B$, где $A$ и $B$ — неизвестные цифры. Чтобы число делилось на 88, оно должно одновременно делиться на 8 и на 11, так как $88 = 8 \times 11$, а числа 8 и 11 являются взаимно простыми.

1. Применим признак делимости на 8: число делится на 8, если число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8. В нашем случае число $53B$ должно делиться на 8. Проверим возможные значения для $B$ от 0 до 9:

$530 : 8 = 66$ (ост. 2)
$531 : 8 = 66$ (ост. 3)
$532 : 8 = 66$ (ост. 4)
$533 : 8 = 66$ (ост. 5)
$534 : 8 = 66$ (ост. 6)
$535 : 8 = 66$ (ост. 7)
$536 : 8 = 67$ (без остатка)
Единственное подходящее значение — $B=6$. Таким образом, число имеет вид $A536$.

2. Применим признак делимости на 11: число делится на 11, если разность между суммой цифр на нечётных местах и суммой цифр на чётных местах делится на 11. Для числа $A536$ (A - 1-я, 5 - 2-я, 3 - 3-я, 6 - 4-я цифра):

Сумма цифр на нечётных местах: $A + 3$.

Сумма цифр на чётных местах: $5 + 6 = 11$.

Разность сумм: $(A + 3) - 11 = A - 8$. Эта разность должна быть кратна 11. Так как $A$ — первая цифра числа, $A$ может быть от 1 до 9. Единственное значение $A$, при котором $A-8$ делится на 11, это $A=8$, так как $8-8=0$, а 0 делится на 11.

Следовательно, искомое число — 8536.

Ответ: вместо звёздочек нужно подставить цифры 8 и 6, получится число 8536.

3.

Пусть $N$ — натуральное число, составленное из цифр 1, 2, 3 и 6, каждая из которых используется ровно один раз. Чтобы выяснить, может ли $N$ быть квадратом натурального числа, воспользуемся признаками делимости.

Найдем сумму цифр любого такого числа $N$: $1 + 2 + 3 + 6 = 12$.

Так как сумма цифр (12) делится на 3, то любое число $N$, составленное из этих цифр, будет делиться на 3.

Существует свойство для квадратов натуральных чисел: если число является полным квадратом и делится на 3, то оно обязано делиться и на 9. Это следует из того, что если $k^2$ делится на простое число $p=3$, то и сам $k$ должен делиться на 3. Если $k = 3m$, то $k^2 = (3m)^2 = 9m^2$, что доказывает делимость $k^2$ на 9.

Теперь проверим, делится ли наше число $N$ на 9. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр числа $N$ равна 12, а 12 не делится на 9.

Мы пришли к противоречию: если бы $N$ было квадратом, оно должно было бы делиться на 9, но оно не делится. Следовательно, такое число не может быть квадратом натурального числа.

Ответ: нет, не может.

4.

Рассмотрим уравнение $n = S(n) + 184$, где $S(n)$ — это сумма цифр натурального числа $n$.

Преобразуем уравнение: $n - S(n) = 184$.

Воспользуемся известным свойством делимости: для любого натурального числа $n$ разность между этим числом и суммой его цифр ($n - S(n)$) всегда делится на 9. Это связано с тем, что любое число $n$ имеет такой же остаток при делении на 9, что и сумма его цифр, то есть $n \equiv S(n) \pmod{9}$. Следовательно, $n - S(n) \equiv 0 \pmod{9}$.

Таким образом, левая часть нашего уравнения, $n - S(n)$, должна быть кратна 9.

Теперь проверим правую часть уравнения — число 184. Чтобы проверить, делится ли 184 на 9, найдем сумму его цифр: $1 + 8 + 4 = 13$.

Так как 13 не делится на 9, то и 184 не делится на 9.

Мы получили противоречие: левая часть уравнения ($n - S(n)$) всегда делится на 9, а правая часть (184) на 9 не делится. Равенство невозможно.

Ответ: решений нет.